Určení intervalu, na kterém funkce klesá, z předpisu funkce

Máme zadanou funkci f(x), která se rovná x na šestou minus 3 krát (x na pátou). Chceme vědět, na kterých intervalech je ‚f‘ klesající. To zjistíme, aniž bychom kreslili graf funkce y rovná se f(x). Provedeme to tak, že spočítáme derivaci ‚f‘ podle x a podíváme se, kdy bude menší než 0. Když je totiž rychlost změny f(x) vzhledem k x menší než 0, tak bude funkce na takových intervalech klesající. Nejprve tedy spočítejme derivaci. f(x) s čárkou bude rovna… Použijeme vzorec pro derivaci mocniny. ...bude rovna 6 krát (x na pátou) minus… 5 krát 3 je 15, tohle krát x na... Exponent musíme zmenšit o 1. ...x na čtvrtou. Zamysleme se tedy, kdy je tohle menší než 0. Na kterých intervalech je 6 krát (x na pátou) minus 15 krát (x na čtvrtou) menší než 0? Tak se na to podívejme. Můžeme vytknout 3 krát (x na čtvrtou). 3 krát (x na čtvrtou) krát… Když vytkneme 3 krát (x na čtvrtou), zbyde nám 2 krát x minus 5, a to má být menší než 0. Je to tak správně? Můžeme to zkusit roznásobit. 3 krát 2 je 6, (x na čtvrtou) krát x je x na pátou. 3 krát 5 je 15 a ještě krát (x na čtvrtou). Ano, mám to správně. Když máme součin dvou výrazů a chceme, aby to bylo menší než 0, tak to nastane pouze v jednom případě, a to když je jeden... Mohl bych říct, že to nastane ve dvou případech. Buď bude první výraz kladný a druhý bude záporný, nebo bude první výraz záporný a druhý bude kladný. Tak to pojďme spočítat. Buď je tedy 3 krát (x na čtvrtou) záporné a (2 krát x minus 5) kladné, nebo... Slovo „nebo“ napíšu jinou barvou. …nebo je 3 krát (x na čtvrtou) kladné a (2 krát x minus 5) záporné. Tak se na to podívejme. 3 krát (x na čtvrtou) je menší než 0. Když obě strany vydělíme 3, tak nám vyjde, že x na čtvrtou má být menší než 0. Je možné, aby nějaké číslo na čtvrtou bylo menší než 0? Předpokládáme, že pracujeme s reálnými čísly. Libovolné reálné číslo umocněné na čtvrtou bude větší nebo rovno nule. Není tedy možné, aby něco na čtvrtou bylo záporné. Toto nikdy nebude menší než nula, takže první případ už můžeme vyloučit. Tento první případ můžeme vyloučit. Zajímá nás tedy už jen tento případ. 3 krát (x na čtvrtou) je větší než 0. To bude platit pro všechna x různá od 0, takže tohle... Pro všechna ostatní x to platí. x může být i záporné, protože když ho umocníme na čtvrtou a vynásobíme 3, tak to bude větší než 0. Tato podmínka tak vlastně říká, že x musí být různé od nuly. Podívejme se teď na druhou podmínku. 2 krát x minus 5 je menší než 0. To znamená, že 2 krát x je menší než 5, tedy že x je menší než (5 lomeno 2). Když je tedy x menší než (5 lomeno 2) a zároveň různé od 0, tak je tato funkce klesající. Chceme-li to zapsat pomocí intervalů, můžeme říct, že x je… Udělám to novou barvou, aby to nebylo tak jednotvárné. ...můžeme říct, že... Nemůžu si vybrat. ...můžeme říct, že x je menší než 0 nebo že 0 je menší než x, které je menší než (5 lomeno 2). x je menší než 0, to jsou všechna záporná čísla. Potom v podstatě vynecháváme 0 a pokračujeme až k (5 lomeno 2). Udělal jsem jenom to, že jsem zjistil, kdy je první derivace záporná, protože když je první derivace záporná, rychlost změny f(x) vzhledem k x je záporná neboli s rostoucími hodnotami x hodnoty funkce f klesají.