Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 3: Intervaly, na kterých funkce roste či klesáUrčení intervalu, na kterém funkce roste, z derivace funkce
Máme zadáno, že derivace funkce g je g'(x)=x²/(x-2)³. Pomocí toho, na kterých intervalech je g' kladná, zjistíme, na kterých intervalech g roste.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Funkce ‚g‘ je definovaná
pro všechna reálná čísla a ‚g‘ s čárkou,
tedy derivace funkce ‚g‘, je definovaná předpisem
g(x) s čárkou se rovná: (x na druhou) lomeno
třetí mocnina z (x minus 2). Na kterých intervalech
je ‚g‘ rostoucí? Možná si říkáte: „Vždyť v zadání ani není ‚g‘, tak jak
máme zjistit, kdy je ‚g‘ rostoucí?“ Odpovědí na tuhle otázku je,
že potřebujeme znát jen ‚g‘ s čárkou, která v zadání je. Když se nás ptají, na kterých
intervalech je ‚g‘ rostoucí, tak to je totéž jako ptát se, na kterých
intervalech je první derivace podle x... Na kterých intervalech
bude tohle větší než 0. Pokud je rychlost změny g(x)
vzhledem k x větší než 0, tedy pokud
je kladná, tak bude
funkce ‚g‘ rostoucí. Můžete na to jít
několika způsoby. Můžete si prohlédnout strukturu tohoto
výrazu a zamyslet se, kdy je větší než 0, nebo to můžete udělat
trochu víc metodicky, a to podívat se na
stacionární body funkce ‚g‘. Budou nás tedy zajímat
stacionární body funkce ‚g‘. Připomeňme si, co
jsou stacionární body. Jsou to body, ve kterých je g(x) s čárkou
buď rovna 0, nebo není definovaná. O stacionárních bodech
máme samostatné video. Pro nás jsou teď
důležité proto, že jde o jediná možná místa, ve kterých
může ‚g‘ s čárkou změnit znaménko. Kdy je g(x) s čárkou
rovno 0? Aby bylo g(x) s čárkou rovno 0,
tak musí být tento čitatel roven 0, což se stane
jen tehdy, když bude x na druhou rovno 0,
tedy když bude x rovno 0. Toto je tedy jediný bod, ve
kterém je g(x) s čárkou rovno 0. Kde není g(x) s čárkou
definováno? Nebude to definováno, když
tento zlomek nebude definovaný, přičemž zlomek nebude definovaný,
když se jmenovatel bude rovnat 0, což nastane tehdy, když
bude (x minus 2) rovno 0. x minus 2 se rovná 0
neboli x se rovná 2. Máme tedy dva
stacionární body a rád bych
je nějak nakreslil. Nakreslím je na
číselnou osu. Zamysleme se, jak se g(x) s čárkou chová
na intervalech mezi stacionárními body. Nejprve si tady
vyznačím 0, potom 1, 2, 3 a ještě si
vyznačím -1. Máme stacionární bod... Udělám to růžovou. ...máme stacionární bod
x rovná se 0 a stacionární bod
x rovná se 2. Zamysleme
se tedy, jak se g(x) s čárkou chová na intervalech
mezi těmito stacionárními body, tedy co dělá na obou
stranách stacionárních bodů. Nejprve se podívejme
na tento interval... Udělám to
touhle fialovou. Podívejme se na interval
od minus nekonečna do nuly. Zajímá nás tedy tento interval,
od minus nekonečna do nuly. Tento otevřený interval. Když se podíváme
na ‚g‘ s čárkou, tak čitatel bude
pořád kladný. Druhá mocnina libovolného
záporného čísla je vždy kladná, takže tohle
bude kladné. A co jmenovatel? Dosadíme záporné číslo,
odečteme od něho 2, čímž dostaneme
opět záporné číslo, které následně
umocníme na třetí. Záporné číslo na třetí
je opět záporné číslo, takže tohle
bude záporné. Máme kladné číslo
dělené záporným číslem, a tak bude
g(x) s čárkou záporné. Zapíšu to. Na tomto intervalu... Napíšu to takto. ...je g(x) s čárkou
menší než 0. Kdyby nás zajímalo, na kterých
intervalech je g klesající, tak bychom řekli, že na
tomto intervalu určitě klesá. Nyní se zaměřme
na interval mezi 0 a 2. To je tento
interval. Toto je tedy otevřený
interval od 0 do 2. Jak se bude g(x) s čárkou
chovat v tomto případě? x na druhou
bude opět... Pro cokoliv
většího než 0, přičemž my 0 do tohoto
intervalu nezahrnujeme, bude tohle
určitě kladné. Pak tu máme x minus 2, kde
x je větší než 0 a menší než 2... Takže když je x... Kdyby x bylo například 1,
tak 1 minus 2 je −1. Tady ve jmenovateli tak opět
dostaneme záporná čísla. Protože tady ve jmenovateli
stále budou záporná čísla, tak celý
jmenovatel bude... Záporné číslo na třetí
je opět záporné číslo, takže tohle
bude záporné. ‚g‘ s čárkou tak stále
bude menší než 0. Napíšu to tam. g(x) s čárkou je
opět menší než 0. Teď pojďme na
poslední interval, tedy na interval
od 2 do nekonečna. Čitatel bude kladný. Bude kladný pro
všechna x různá od nuly. Když do jmenovatele dosadíme číslo
větší než 2 a pak od toho odečteme 2, tak to bude
stále kladné číslo. To následně mocníme na třetí,
což bude opět kladné číslo. Celý zlomek tedy
bude kladný. Na tomto intervalu je tudíž
g(x) s čárkou větší než 0. Na kterých intervalech
je tedy ‚g‘ rostoucí? Na intervalech, kde je
g(x) s čárkou větší než 0, takže na intervalu
od 2 do nekonečna, což můžeme také napsat tak,
že x musí být větší než 2. Ať už to napíšeme jakkoliv, tak pro
tato x je g(x) s čárkou větší než 0, takže funkce ‚g‘
bude rostoucí.