If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Posloupnosti a konečné řady

Kurz: Posloupnosti a konečné řady > Kapitola 1

Lekce 1: Aritmetické posloupnosti: úvod a dopočítávání členů
Matematika
Posloupnosti a konečné řady
Posloupnosti
Aritmetické posloupnosti: úvod a dopočítávání členů
© 2023 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Úvod do vzorců pro určení aritmetických posloupností

Učebna Google
Seznam se s rekurentním zadáním aritmetické posloupnosti a vzorcem pro její n-tý člen.
Ještě než s tímto článkem začneš, ujisti se, že dobře rozumíš tomu, co jsou aritmetické posloupnosti, a že umíš vyhodnocovat funkce a víš, co to je definiční obor funkce.

Jak zapisovat aritmetické posloupnosti?

Aritmetické posloupnosti jsme zvyklí zapisovat takto:
3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
Existují však i jiné způsoby. V tomto článku si ukážeme dva nové způsoby, jak zapsat aritmetické posloupnosti, a to jejich rekurentní zadání a vzorec pro n-tý člen, které nám říkají, jak určit libovolný člen dané posloupnosti.
V těchto typech zápisu aritmetických posloupností používáme přirozené číslo n jako označení toho, o kolikátý člen jde. Výrazem a, left parenthesis, n, right parenthesis pak označujeme n-tý člen dané posloupnosti. Několik prvních členů aritmetické posloupnosti 3, 5, 7, ... tak zapíšeme takto:
na, left parenthesis, n, right parenthesis
(Číslo členu)(n-tý člen)
13
25
37
Výše jsme zmínili, že tyto způsoby zápisu udávají, jak určit libovolný člen dané posloupnosti. Jinak řečeno nám tyto zápisy říkají, jak nalézt a, left parenthesis, n, right parenthesis pro libovolné přirozené číslo n.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

1) Urči člen a, left parenthesis, 4, right parenthesis posloupnosti 3, 5, 7, ...
a, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) Co pro libovolné přirozené číslo n představuje výraz a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis?
Vyber 1 odpověď:

Rekurentní zadání aritmetické posloupnosti

Rekurentní zadání nějaké posloupnosti obsahuje tyto dvě informace:
  1. Jak vypadá první člen posloupnosti
  2. Jak vypočítat libovolný další člen posloupnosti pomocí předcházejícího členu
Například posloupnost 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point má toto rekurentní zadání:
{a(1)=3←Prvnıˊ cˇlen je 3.a(n)=a(n−1)+2←K prˇedchaˊzejıˊcıˊmu cˇlenu musıˊme prˇicˇıˊst 2.\begin{cases}a(1) = 3&\leftarrow\gray{\text{První člen je 3.}}\\\\ a(n) = a(n-1)+2&\leftarrow\gray{\text{K předcházejícímu členu musíme přičíst 2.}} \end{cases}
Například pátý člen této posloupnosti najdeme tak, že budeme počítat členy postupně jeden po druhém:
a, left parenthesis, n, right parenthesisequals, a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, plus, 2
a, left parenthesis, 1, right parenthesisequals, start color #11accd, 3, end color #11accd
a, left parenthesis, 2, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, 2equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff
a, left parenthesis, 3, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54
a, left parenthesis, 4, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10
a, left parenthesis, 5, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10, plus, 2equals, 11
Výborně! Toto zadání skutečně odpovídá posloupnosti 3, 5, 7, ...

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Nyní si zkusíš samostatně hledat členy posloupností zadaných rekurentně.
Stejně jako jsme použili a, left parenthesis, n, right parenthesis k vyjádření n-tého členu posloupnosti 3, 5, 7, ... , můžeme ke znázornění jiných posloupností použít i jiná písmena. Například můžeme použít b, left parenthesis, n, right parenthesis, c, left parenthesis, n, right parenthesis nebo d, left parenthesis, n, right parenthesis.
3) Urči člen b, left parenthesis, 4, right parenthesis posloupnosti zadané jako {b(1)=−5b(n)=b(n−1)+9\begin{cases}b(1)=-5\\\\ b(n)=b(n-1)+9 \end{cases}
b, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

4) Urči člen c, left parenthesis, 3, right parenthesis posloupnosti zadané jako{c(1)=20c(n)=c(n−1)−17\begin{cases}c(1)=20\\\\ c(n)=c(n-1)-17 \end{cases}
c, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

5) Urči člen d, left parenthesis, 5, right parenthesis posloupnosti zadané jako{d(1)=2d(n)=d(n−1)+0,4\begin{cases}d(1)=2\\\\ d(n)=d(n-1)+0{,}4 \end{cases}
d, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti

Vzorec pro n-tý člen posloupnosti 3, 5, 7, ... vypadá takto:
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Do vzorce pro n-tý člen tedy dosazujeme číslo, které říká, kolikátý člen posloupnosti nás zajímá, a výsledkem je právě tento člen.
Například pátý člen naší posloupnosti spočítáme tak, že do vzorce pro n-tý člen dosadíme n, equals, 5.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\cdot4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
Vidíme, že nám vyšlo to samé co předtím!

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

6) Urči člen b, left parenthesis, 10, right parenthesis posloupnosti zadané vzorcem b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
b, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7) Urči člen c, left parenthesis, 8, right parenthesis posloupnosti zadané vzorcem c, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 20, minus, 17, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
c, left parenthesis, 8, right parenthesis, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

8) Urči člen d, left parenthesis, 21, right parenthesis posloupnosti zadané vzorcem d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 2, plus, 0, comma, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
d, left parenthesis, 21, right parenthesis, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Posloupnosti jsou funkce

Všimněme si, že zápisy posloupností v tomto článku fungují jako funkce. Dosazujeme do nich číslo n, které udává, kolikátý člen chceme zjistit, a získáme právě člen a, left parenthesis, n, right parenthesis.
Posloupnosti se ve skutečnosti definují jako funkce. Za n však nelze dosadit libovolné reálné číslo. Nemůžeme hledat například minus pátý člen nebo 0,4tý člen posloupnosti.
To znamená, že definiční obor posloupnosti, což je množina čísel, které můžeme do této funkce dosadit, jsou pouze přirozená čísla.

Poznámka o zápisu členů

Například čtvrtý člen posloupnosti jsme doteď zapisovali jako a, left parenthesis, 4, right parenthesis, ale jinde se můžeš setkat se zápisem a, start subscript, 4, end subscript.
Oba způsoby zápisu jsou v pořádku. Zápis ve tvaru a, left parenthesis, 4, right parenthesis více zdůrazňuje to, že posloupnosti jsou funkce.

Kontrolní otázka

9) Co je lepší použít pro rychlý výpočet stého členu aritmetické posloupnosti?
Vyber 1 odpověď:

Výzva

10) Vzorec pro n-tý člen dané aritmetické posloupnosti má tvar f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, minus, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Kolikátý člen této posloupnosti se rovná -65?
Jde o člen číslo
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.