Hlavní obsah
Posloupnosti a konečné řady
Kurz: Posloupnosti a konečné řady > Kapitola 1
Lekce 1: Aritmetické posloupnosti: úvod a dopočítávání členů- Úvod do posloupností
- Úvod do aritmetických posloupností
- Úvod do aritmetických posloupností
- Určení dalších členů aritmetických posloupností
- Určení dalších členů aritmetických posloupností
- Použití vzorců pro určení aritmetických posloupností
- Úvod do vzorců pro určení aritmetických posloupností
- Řešený příklad: Určení členu aritmetické posloupnosti zadané rekurentně
- Vzorce pro určení aritmetických posloupností
Úvod do vzorců pro určení aritmetických posloupností
Seznam se s rekurentním zadáním aritmetické posloupnosti a vzorcem pro její n-tý člen.
Ještě než s tímto článkem začneš, ujisti se, že dobře rozumíš tomu, co jsou aritmetické posloupnosti, a že umíš vyhodnocovat funkce a víš, co to je definiční obor funkce.
Jak zapisovat aritmetické posloupnosti?
Aritmetické posloupnosti jsme zvyklí zapisovat takto:
Existují však i jiné způsoby. V tomto článku si ukážeme dva nové způsoby, jak zapsat aritmetické posloupnosti, a to jejich rekurentní zadání a vzorec pro n-tý člen, které nám říkají, jak určit libovolný člen dané posloupnosti.
V těchto typech zápisu aritmetických posloupností používáme přirozené číslo n jako označení toho, o kolikátý člen jde. Výrazem a, left parenthesis, n, right parenthesis pak označujeme n-tý člen dané posloupnosti. Několik prvních členů aritmetické posloupnosti 3, 5, 7, ... tak zapíšeme takto:
n | a, left parenthesis, n, right parenthesis |
---|---|
(Číslo členu) | (n-tý člen) |
1 | 3 |
2 | 5 |
3 | 7 |
Výše jsme zmínili, že tyto způsoby zápisu udávají, jak určit libovolný člen dané posloupnosti. Jinak řečeno nám tyto zápisy říkají, jak nalézt a, left parenthesis, n, right parenthesis pro libovolné přirozené číslo n.
Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!
Rekurentní zadání aritmetické posloupnosti
Rekurentní zadání nějaké posloupnosti obsahuje tyto dvě informace:
- Jak vypadá první člen posloupnosti
- Jak vypočítat libovolný další člen posloupnosti pomocí předcházejícího členu
Například posloupnost 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point má toto rekurentní zadání:
Například pátý člen této posloupnosti najdeme tak, že budeme počítat členy postupně jeden po druhém:
a, left parenthesis, n, right parenthesis | equals, a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, plus, 2 | |||
---|---|---|---|---|
a, left parenthesis, 1, right parenthesis | equals, start color #11accd, 3, end color #11accd | |||
a, left parenthesis, 2, right parenthesis | equals, a, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, 2 | equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, 2 | equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff | |
a, left parenthesis, 3, right parenthesis | equals, a, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, 2 | equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff, plus, 2 | equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54 | |
a, left parenthesis, 4, right parenthesis | equals, a, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, 2 | equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54, plus, 2 | equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10 | |
a, left parenthesis, 5, right parenthesis | equals, a, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, 2 | equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10, plus, 2 | equals, 11 |
Výborně! Toto zadání skutečně odpovídá posloupnosti 3, 5, 7, ...
Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!
Nyní si zkusíš samostatně hledat členy posloupností zadaných rekurentně.
Stejně jako jsme použili a, left parenthesis, n, right parenthesis k vyjádření n-tého členu posloupnosti 3, 5, 7, ... , můžeme ke znázornění jiných posloupností použít i jiná písmena. Například můžeme použít b, left parenthesis, n, right parenthesis, c, left parenthesis, n, right parenthesis nebo d, left parenthesis, n, right parenthesis.
Vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti
Vzorec pro n-tý člen posloupnosti 3, 5, 7, ... vypadá takto:
Do vzorce pro n-tý člen tedy dosazujeme číslo, které říká, kolikátý člen posloupnosti nás zajímá, a výsledkem je právě tento člen.
Například pátý člen naší posloupnosti spočítáme tak, že do vzorce pro n-tý člen dosadíme n, equals, 5.
Vidíme, že nám vyšlo to samé co předtím!
Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!
Posloupnosti jsou funkce
Všimněme si, že zápisy posloupností v tomto článku fungují jako funkce. Dosazujeme do nich číslo n, které udává, kolikátý člen chceme zjistit, a získáme právě člen a, left parenthesis, n, right parenthesis.
Posloupnosti se ve skutečnosti definují jako funkce. Za n však nelze dosadit libovolné reálné číslo. Nemůžeme hledat například minus pátý člen nebo 0,4tý člen posloupnosti.
To znamená, že definiční obor posloupnosti, což je množina čísel, které můžeme do této funkce dosadit, jsou pouze přirozená čísla.
Poznámka o zápisu členů
Například čtvrtý člen posloupnosti jsme doteď zapisovali jako a, left parenthesis, 4, right parenthesis, ale jinde se můžeš setkat se zápisem a, start subscript, 4, end subscript.
Oba způsoby zápisu jsou v pořádku. Zápis ve tvaru a, left parenthesis, 4, right parenthesis více zdůrazňuje to, že posloupnosti jsou funkce.
Kontrolní otázka
Výzva
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.