If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Kurz: Posloupnosti a konečné řady > Kapitola 1

Lekce 1: Aritmetické posloupnosti: úvod a dopočítávání členů
Matematika
Posloupnosti a konečné řady
Posloupnosti
Aritmetické posloupnosti: úvod a dopočítávání členů
© 2024 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Úvod do vzorců pro určení aritmetických posloupností

Učebna Google
Seznam se s rekurentním zadáním aritmetické posloupnosti a vzorcem pro její n-tý člen.
Ještě než s tímto článkem začneš, ujisti se, že dobře rozumíš tomu, co jsou aritmetické posloupnosti, a že umíš vyhodnocovat funkce a víš, co to je definiční obor funkce.

Jak zapisovat aritmetické posloupnosti?

Aritmetické posloupnosti jsme zvyklí zapisovat takto:
3,5,7,…
Existují však i jiné způsoby. V tomto článku si ukážeme dva nové způsoby, jak zapsat aritmetické posloupnosti, a to jejich rekurentní zadání a vzorec pro n-tý člen, které nám říkají, jak určit libovolný člen dané posloupnosti.
V těchto typech zápisu aritmetických posloupností používáme přirozené číslo n jako označení toho, o kolikátý člen jde. Výrazem a(n) pak označujeme n-tý člen dané posloupnosti. Několik prvních členů aritmetické posloupnosti 3, 5, 7, ... tak zapíšeme takto:
na(n)
(Číslo členu)(n-tý člen)
13
25
37
Výše jsme zmínili, že tyto způsoby zápisu udávají, jak určit libovolný člen dané posloupnosti. Jinak řečeno nám tyto zápisy říkají, jak nalézt a(n) pro libovolné přirozené číslo n.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

1) Urči člen a(4) posloupnosti 3, 5, 7, ...
a(4)=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

2) Co pro libovolné přirozené číslo n představuje výraz a(n−1)?
Vyber 1 odpověď:

Rekurentní zadání aritmetické posloupnosti

Rekurentní zadání nějaké posloupnosti obsahuje tyto dvě informace:
  1. Jak vypadá první člen posloupnosti
  2. Jak vypočítat libovolný další člen posloupnosti pomocí předcházejícího členu
Například posloupnost 3,5,7,… má toto rekurentní zadání:
{a(1)=3←První člen je 3.a(n)=a(n−1)+2←K předcházejícímu členu musíme přičíst 2.
Například pátý člen této posloupnosti najdeme tak, že budeme počítat členy postupně jeden po druhém:
a(n)=a(n−1)+2
a(1)=3
a(2)=a(1)+2=3+2=5
a(3)=a(2)+2=5+2=7
a(4)=a(3)+2=7+2=9
a(5)=a(4)+2=9+2=11
Výborně! Toto zadání skutečně odpovídá posloupnosti 3, 5, 7, ...

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Nyní si zkusíš samostatně hledat členy posloupností zadaných rekurentně.
Stejně jako jsme použili a(n) k vyjádření n-tého členu posloupnosti 3, 5, 7, ... , můžeme ke znázornění jiných posloupností použít i jiná písmena. Například můžeme použít b(n), c(n) nebo d(n).
3) Urči člen b(4) posloupnosti zadané jako {b(1)=−5b(n)=b(n−1)+9
b(4)=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

4) Urči člen c(3) posloupnosti zadané jako{c(1)=20c(n)=c(n−1)−17
c(3)=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

5) Urči člen d(5) posloupnosti zadané jako{d(1)=2d(n)=d(n−1)+0,4
d(5)=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

Vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti

Vzorec pro n-tý člen posloupnosti 3, 5, 7, ... vypadá takto:
a(n)=3+2(n−1)
Do vzorce pro n-tý člen tedy dosazujeme číslo, které říká, kolikátý člen posloupnosti nás zajímá, a výsledkem je právě tento člen.
Například pátý člen naší posloupnosti spočítáme tak, že do vzorce pro n-tý člen dosadíme n=5.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11
Vidíme, že nám vyšlo to samé co předtím!

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

6) Urči člen b(10) posloupnosti zadané vzorcem b(n)=−5+9(n−1).
b(10)=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

7) Urči člen c(8) posloupnosti zadané vzorcem c(n)=20−17(n−1).
c(8)=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

8) Urči člen d(21) posloupnosti zadané vzorcem d(n)=2+0,4(n−1).
d(21)=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

Posloupnosti jsou funkce

Všimněme si, že zápisy posloupností v tomto článku fungují jako funkce. Dosazujeme do nich číslo n, které udává, kolikátý člen chceme zjistit, a získáme právě člen a(n).
Posloupnosti se ve skutečnosti definují jako funkce. Za n však nelze dosadit libovolné reálné číslo. Nemůžeme hledat například minus pátý člen nebo 0,4tý člen posloupnosti.
To znamená, že definiční obor posloupnosti, což je množina čísel, které můžeme do této funkce dosadit, jsou pouze přirozená čísla.

Poznámka o zápisu členů

Například čtvrtý člen posloupnosti jsme doteď zapisovali jako a(4), ale jinde se můžeš setkat se zápisem a4.
Oba způsoby zápisu jsou v pořádku. Zápis ve tvaru a(4) více zdůrazňuje to, že posloupnosti jsou funkce.

Kontrolní otázka

9) Co je lepší použít pro rychlý výpočet stého členu aritmetické posloupnosti?
Vyber 1 odpověď:

Výzva

10) Vzorec pro n-tý člen dané aritmetické posloupnosti má tvar f(n)=3−4(n−1).
Kolikátý člen této posloupnosti se rovná -65?
Jde o člen číslo
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi
.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.