Rovnice s komplexními kořeny: x³=1

Dnes si ukážeme, proč se nám může hodit exponenciální forma komplexního čísla. My už jsme ji v některých případech používali, ale dobrých příkladů není nikdy dost. Máme tady <i>x</i> na třetí se rovná 1. Rádi bychom našli všechny kořeny této rovnice. Můžeme si to tedy také představit jako <i>x</i> na třetí minus 1 se rovná 0. Chceme tedy najít všechny reálné i komplexní kořeny, tedy vlastně komplexní kořeny, poněvadž reálná čísla jsou podmnožinou těch komplexních, jenom neobsahují tu imaginární část. Jejich imaginární část je nulová. Tohle bychom asi zvládli vyřešit i bez té exponenciální formy, ale s exponenciální formou si můžeme ukázat obecný postup a potom bychom to zvládli vypočítat i pro <i>x</i> na pátou je 1, <i>x</i> na jedenáctou se rovná 1 a tak dále. Pojďme tedy na to. První, co nás napadne je, že jeden kořen už určitě známe. A to je <i>z</i> = 1. To je tedy reálné číslo, ale vlastně také komplexní číslo, jak už jsme řekli, poněvadž reálná jsou podmnožinou těch komplexních. Také si to můžeme představit jako <i>z</i> = 1 + 0<i>i</i>, ale psát to nebudeme. Když si to chceme zaznačit do komplexní roviny, tak je to jednoduché. Abychom to hezky viděli, tak řekněme, že třeba toto je 1, toto je 1, tady je -1 a tady máme -1, takže toto je vlastně taková jednotková kružnice. A naše <i>z</i> = 1 bude ležet přímo tady. Tohle je jeho polohový vektor. Pokud bychom chtěli toto vyjádřit v exponenciální formě, budeme potřebovat absolutní hodnotu ze <i>z</i> a argument, neboli úhel, který svírá tady s tou kladnou poloosou té reálné osy. Absolutní hodnota je jednoduchá tady, to je tedy délka tohoto polohového vektoru a to je 1. A argument ze <i>z</i> je tedy ten úhel a jelikož nám číslo <i>z</i> leží přímo na té kladné poloose, tak je to nulové. Takže potom, kdybychom chtěli toto v exponenciální formě, tak můžeme napsat, že 1 = absolutní hodnota, tedy 1 krát, to psát nemusíme, <i>e</i> na, argument, 0<i>i</i>, což dává smysl, poněvadž cokoli na nultou… 0 krát <i>i</i> je 0, cokoli na nultou je 1, takže 1 = 1. Ještě tady můžu dopsat tedy toto, ať to máme kompletní. To nám nějak zásadně úplně nepomohlo, ale co by nám mohlo pomoct je představa, že argument nemusí být pouze 0, protože my víme, že celý tento okruh jsou 2pí. Takže ten argument může být nejen 0, ale také 2pí, nebo také dokonce 4pí, protože to je 2pí plus další pí, o 4pí jsme zase zpátky, také 6pí, 8pí a tak dále. Jak by potom vypadala ta exponenciální forma, kdybychom měli tyto argumenty? Pojďme si to napsat dolů. Takže máme tady náš první způsob a tedy, že <i>x</i> na třetí je 1. To nemá úplně smysl psát v této exponenciální formě. Potom ale také tedy můžeme mít, že <i>x</i> na třetí se rovná ne tedy <i>e</i> na 0<i>i</i>, ale podle argumentu <i>e</i> na 2pí <i>i</i>. A potom ještě můžeme mít tedy, že <i>x</i> na třetí se rovná <i>e</i> na 4pí <i>i</i>. <i>e</i> na 4pí <i>i</i>. S těmito odlišnými argumenty. Takže to jsou naše tři možnosti, které jsme si tady zaznačili. Když chceme dostat <i>x</i>, budeme muset obě dvě strany těch rovnic umocnit na 1 třetinu. Tak dostaneme <i>x</i> a napravo náš hledaný výsledek. To bude vypadat trošku škaredě. No, vy to zvládnete. <i>x</i> na třetí na 1 třetinu je samozřejmě <i>x</i> a 1 můžeme umocňovat a odmocňovat jakkoli, stále to bude 1, takže tady máme první kořen <i>x</i> = 1. Můžeme si napsat <i>x</i> jedna se rovná 1, poněvadž kořenů bude vícero. Co dostaneme tady? Tady zase dostaneme <i>x</i> a na pravé straně dostaneme co? Pokud umocňujeme mocninu, exponenty násobíme. A tady tedy bude <i>e</i> na 2pí třetin <i>i</i>. To je náš druhý kořen <i>x</i> dva. A náš třetí kořen, teď tedy tomu můžeme říkat <i>x</i> tři, tady zase dostaneme tedy <i>x</i> už rovnou na levé straně a na pravé straně opět násobíme exponenty: <i>e</i> na 4pí třetin <i>i</i>. Už jsme se dostali k něčemu zajímavému. Tento první kořen tedy už máme zakreslený, tento náš červený. Abychom zakreslili tyto dva, musíme si vypsat opět absolutní hodnotu a argument. Absolutní hodnota, ta bude stále stejná, je 1, poněvadž tady vepředu nic nevidíme. Úhel fí, tedy argument, bude ale v tomto případě 2pí třetin. A u našeho posledního kořenu je opět absolutní hodnota stejná a fí je tentokrát 4pí třetin. Tak si to pojďme zaznačit do komplexní roviny. Náš druhý kořen bude opět ležet na této jednotkové kružnici, poněvadž absolutní hodnota je 1, ale úhel tentokrát bude 2pí třetin. My tady máme načrtnuté dopředu nějaké úseky, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 6 se jich vejde do jednoho kvadrantu, do pí půl. A tedy do celého pí se jich vejde 12, jsou to tedy dvanáctiny pí. 2pí třetin krát 4, to je 8 dvanáctin pí. 6 a ještě 2 dvanáctiny, takže náš druhý kořen bude ležet tady, polohový vektor tedy bude vypadat takto. Jak to bude vypadat s tím třetím? Stále se pohybujeme na této jednotkové kružnici, ta vzdálenost, ta absolutní hodnota, je stejná, ale úhel máme 4pí třetin. To je 4 třetiny krát 4, 16 dvanáctin, takže tady máme 12, 13, 14, 15, 16. Přímo tady. Dokreslíme si polohový vektor. Teď si můžete všimnout, že když jsme vlastně zadali třetí odmocninu tady toho na pravé straně, tak jsme celý ten okruh 2pí vlastně rozdělili na tři stejné části. Vždycky po 2 třetinách pí. 0pí, 2 třetiny pí, 4 třetiny pí, tak, jak to máme tady. No a zpátky 6 třetin pí, neboli 2pí, neboli 0. Každý úsek má tedy 2 třetiny pí, neboli, chceme-li to ve stupních, 120 stupňů. Tak vy mi teď ale možná řeknete: No, to je hezké, že jsme tady dostali nějaké pěkné kořeny, ale já většinou komplexní číslo nevídám v tomhle tvaru a mně by se to líbilo, kdyby to bylo zapsáno v tom algebraickém. Tak dobrá, pojďme si tedy ukázat ten tvar algebraický. Pojďme na to. Tady u toho je to jasné, to už jsme si říkali: 1 + 0<i>i</i>. <i>x</i> dva: tohle můžeme jednoduše přepsat, to už známe, do tvaru goniometrického, takže <i>x</i> dva bude rovno 1 krát, to psát nemusíme, cosinus 2pí třetin plus <i>i</i> krát sinus 2pí třetin. To je goniometrický tvar. Pojďme se teď podívat, jak na tom budeme s tím tvarem algebraickým. Máme tady tedy <i>x</i> dva a my bychom rádi znali souřadnice tohoto bodu. A ono to vlastně bude jednodušší, než se vám teď na první pohled může zdát. Poněvadž tady si můžeme představit pravoúhlý trojúhelník, tady víme, že přepona má délku 1, tady máme pravý úhel a tady, pozor, my moc dobře víme, že tohle je tedy polovina, polovina těch 2pí třetin, neboli 120 stupňů, a tedy 60. A o trojúhelníku, který má úhly 90, 60 a tedy 30, my už něco víme. Máme na to tady v Khanově škole i video, klidně si ho prohlédněte. Pokud si to ale nepamatujete, tak mi teď budete muset věřit. Pokud známe délku přepony u tohoto trojúhelníku, jednoduše tedy odvodíme, že tato strana má délku odmocnina ze 3 lomeno 2 a tato strana má délku 1 polovina. Tak jednoduché to je. Takže když si budeme chtít toto přepsat do algebraického tvaru, bude to tedy, že <i>x</i> dva se rovná: ta reálná souřadnice tohoto bodu je tedy minus 1 polovina, toto je délka této strany, 1 polovina, jdeme do minusu, tedy -1 polovina a tady jdeme na imaginární ose do plusu, plus odmocnina ze tří lomeno dvěma <i>i</i>. To je naše <i>x</i> dva. A co <i>x</i> tři? Co tento bod? Ten už možná nemusíme vyjadřovat takto, zkusíme si to rovnou tady podle tohoto. Asi už je vám jasné, že naše souřadnice na reálné ose bude úplně stejná. To dává smysl. A tedy: <i>x</i> tři bude opět -1 polovina. A teď se podívejme na tu imaginární osu. Jelikož tady bylo 60 a toto celé je 120, tak víme, že i tady bude 60. Nechci to kreslit přes tu 1 polovinu. Takže toto má stejnou délku jako tady, je to opět odmocnina ze 3 lomeno 2. Tentokrát ale nejdeme na imaginární ose do plusu, ale do minusu. Takže to bude minus 1 polovina minus odmocnina ze 3 lomeno 2<i>i</i>. Takže se nám teď podařilo to převést do algebraického tvaru, ve kterém to normálně vídáte. Tady máme jeden kořen. Tady máme druhý kořen a tady máme třetí kořen. A já už jsem na začátku říkala, že pokud použijeme tuto metodu za pomoci exponenciální formy, můžeme se to naučit vlastně obecně. Takže když se vrátím zpátky, kdybychom tady neměli <i>x</i> na třetí se rovná 1, ale <i>x</i> na čtvrtou se rovná 1, tak už bychom to taky uměli. Teď když jsme hledali tady v podstatě třetí odmocninu z té pravé strany, tak jsme si rozdělili celé ty 2pí na tři části. Kdybychom tady měli <i>x</i> na čtvrtou a hledali bychom čtvrtou odmocninu, tak bychom si ty 2pí rozdělili na 4 stejné části a vlastně bychom tady dostali 1, tady <i>i</i>, tady -1 a tady -<i>i</i>. Což vlastně dává naprosto smysl, protože 1 na čtvrtou bude 1, <i>i</i> na čtvrtou je vždycky 1, -1 na čtvrtou je také 1 a -<i>i</i> na čtvrtou také 1. Stejně bychom mohli postupovat, kdybychom měli třeba <i>x</i> na osmou je 1, takže by se nám to rozdělilo na 8 stejných částí, dostali bychom 8 různých kořenů. A ještě jedna malá poznámka: Možná někteří z vás dumají tady nad tím, co jsme dělali na začátku. Proč jsme nepočítali další kořeny? Třeba za pomoci toho 6pí, 8pí… Už vás to možná napadlo, když jsem tady teď mluvila o těch počtech kořenů a počtech částí, ale pro váš klid vám to tady ukážu. Kdybychom tedy měli argument 6pí, tak tady nebudeme mít <i>e</i> na 2pí třetin nebo 4pí třetin a tak bychom tady měli, že <i>x</i> se rovná <i>e</i> na 6pí lomeno 3 <i>i</i>. No a to je to samé jako <i>e</i> na 2pí <i>i</i>. A 2pí, to je přece zase na začátku. Dostali bychom se do toho samého místa, jako tady. Takže, pokud hledáme třetí odmocninu, dostaneme jenom tři kořeny. Protože potom by se nám to už zase a znova opakovalo.