Vzorec pro derivaci mocniny (s úpravami výrazu)

V tomto videu se budeme věnovat procvičování vzorce na derivaci mocniny. Máme například spočítat derivaci funkce 1 lomeno x. Čemu se bude rovnat? Zkuste si pozastavit video a spočítat si to sami. Možná si říkáte: "Jak zde využiji vzorec na derivaci mocniny?" Můžeme si ho trochu připomenout. Tento vzorec nám říká, že pokud derivujeme x na n, tak n dáme před x, čili n krát x, a exponent zmenšíme o jednu. V exponentu tedy bude n minus 1. Tato funkce sice není mocninná, ovšem můžeme z ní mocninnou udělat. 1 lomeno x je totiž to samé jako x na -1. Budeme tedy počítat derivaci funkce x na -1. Vypadá to možná náročněji než funkce, na které jste zvyklí. Výsledek tedy bude: exponent dáme před funkci, takže je to -1 krát x na -1 minus 1. Po zjednodušení to je -x na -2. To je vše. Pojďme na další příklad. Máme funkci f(x), která se rovná třetí odmocnině z x. a chceme zjistit její derivaci. Znovu si můžete video pozastavit a vyzkoušet si to samostatně. Znovu si můžete říkat, jak toto můžeme zderivovat pomocí vzorce na derivaci mocniny? Znovu tuto funkci můžeme přepsat tak, aby z ní byla funkce mocninná. Třetí odmocninu z x přepíšeme na x na 1/3. Derivace tedy bude 1/3 krát x na 1/3 minus 1. Po zjednodušení bude výsledek 1/3 krát x na -2/3. Máme hotovo. Díky těmto příkladům můžete vidět, jak široké využití má vzorec na derivaci mocniny. Díky němu zvládnete zderivovat mnohem více funkcí, než jste si mysleli. Zkusme si spočítat další, trochu složitější, příklad. Chceme zderivovat třetí odmocninu z x na druhou. Jaký bude výsledek? Můžeme si vyzkoušet nejen zderivovat funkci, ale také kolik se rovná derivace, když x se rovná 8. Znovu si můžete video pozastavit a počítat sami. Nejdříve zkusíme zjistit derivaci funkce, a poté hodnotu derivace pro x rovno 8. Abychom tuto funkci zvládli zderivovat, musíme udělat to samé, jako u předchozích funkcí. Tuto funkci můžeme přepsat jako x na druhou, to celé na 1/3. Znovu můžeme přepsat pomocí součinu exponentů. Bude to tedy x na 2 krát 1/3, čili na 2/3. Nyní tuto mocninnou funkci zderivujeme. Nejprve 2/3 napíšeme před funkci, tedy 2/3 krát x na 2/3 minus 1. To je to samé, jako 2/3 minus 3/3. Výsledná mocnina je tedy -1/3. Nyní si ještě spočítáme tuto funkci pro x rovno 8. 2/3 krát 8, na -1/3. Kolik je 8 na 1/3? 8 na 1/3 se rovná 2, čili 8 na -1/3 bude 1/2. Můžeme si to spočítat krok po kroku. Toto bude 2/3 krát 1 lomeno 8 na 1/3. Po zjednodušení je to 2/3 krát 1/2, což po vynásobení bude rovno 1/3 a máme hotovo.