Vodorovná tečna k implicitně zadané křivce

Máme křivku zadanou pomocí této rovnice. Lze ukázat, že derivace y podle x se rovná tomuto výrazu, což můžeme spočítat implicitním zderivováním zadané rovnice a následným osamostatněním derivace y podle x. To už jsme dělali v dřívějších videích. Napište rovnici vodorovné tečny k této křivce, která se nachází nad osou x. Zastavte si video a zkuste to samostatně vyřešit. Nejprve se podívejme, jak to vypadá na obrázku. Nakreslím tu rychlý a hrubý náčrtek. Tady bude osa y a zde bude osa x. Nevím sice, jak tato křivka přesně vypadá, ale představme si, že máme křivku, která vypadá nějak takto. Tato křivka, kterou jsem nakreslil, má dvě vodorovné tečny. Jedna bude tady a druhá bude zde. V zadání se po nás chce rovnice vodorovné tečny, která je nad osou x. Co dokážeme říct, když víme, že tato tečna je vodorovná? Říká nám to, že v tomto bodě je dy lomeno dx rovno 0. To platí také pro tento bod. Ze zadání víme, čemu se dy lomeno dx rovná. Víme, že derivace y podle x se rovná: −2 krát (x plus 3), to celé lomeno výrazem 4 krát (y na třetí), a to pro všechna x a y. Kdy se tohle rovná 0? Tohle se bude rovnat 0, když bude čitatel rovný 0 a jmenovatel bude různý od 0. Kdy se tedy čitatel rovná 0? Když je x rovno −3. Když je x rovno −3, derivace je rovna 0. Jaká bude odpovídající hodnota y, když se x rovná −3? Až to budeme vědět, tak tato tečna bude mít rovnici y rovná se ta hodnota, kterou počítáme. Abychom tuto hodnotu spočítali, tak x rovno −3 dosadíme do původní rovnice a odsud spočítáme y. Tak pojďme na to. Bude to (−3) na druhou plus y na čtvrtou plus 6 krát −3, a to se rovná 7. Tohle je 9 a tohle je −18, takže dostaneme, že y na čtvrtou minus 9 se rovná 7, neboli, když k oběma stranám přičteme 9, že y na čtvrtou se rovná 16. Z toho už plyne, že y se rovná plus nebo minus 2. To znamená, že křivka má dvě vodorovné tečny. Jedna má rovnici y rovná se 2 a druhá má rovnici y rovná se −2. My však máme najít rovnici vodorovné tečny k zadané křivce, která se nachází nad osou x. Nad osou x se nachází pouze tato tečna. A máme hotovo. Hledaná rovnice je y rovná se 2.