Ověřování předpokladů věty o nabývání mezihodnot: tabulka

Tabulka obsahuje vybrané hodnoty spojité funkce f. Můžeme za pomoci věty o nabývaní mezihodnot říct, že rovnice f(x) rovno 0 má řešení na uzavřeném intervalu od 4 do 6? Pokud ano, své tvrzení odůvodněte. Teď je vhodné si na chvilku přerušit video a nad úlohou se krátce zamyslet. Nakresleme si, o co tu jde a hlavně, jaký má smysl věta o nabývání mezihodnot. Nakresleme si postupně y-ovou a x-ovou osu. A také zanesme dané body. Pokud je x rovno 0, f(x) nabývá hodnoty 0. Pokud je x rovno 2, f(x) nabývá hodnoty −2. Pokud je x rovno 4, f(x) nabývá hodnoty 3. Můžeme nakreslit různé škálování os. Pokud je x rovno 6, f(x) nabývá hodnoty 7. Také nám bylo řečeno, že f je spojitá funkce. Intuitivně spojitost znamená spojení všech bodů nepřerušovanou čárou. Tedy naše funkce může vypadat například takto. Může mít samozřejmě mnohem divočejší průběh. Ale graf mojí f vypadá takto. Dle věty o nabývání mezihodnot zvolme uzavřený interval. V našem případě interval od 4 do 6. Věta o nabývání mezihodnot nám říká následující: Pokud máme spojitou funkci f na tomto intervalu, tak f nabude každé hodnoty mezi f(4), což je 3, a f(6), což je 7. Takže, pokud by se někdo zeptal, zda-li bude existovat bod na tomto intervalu, v němž bude mít f hodnotu 5? Odpověď je ano. Na tomto intervalu existuje takové x, že f(x) je rovno 5. Ale nás se neptají na f(x) mezi těmito dvěma hodnotami. Ptají se nás na f(x) rovno 0. 0 není mezi f(4) a f(6). Proto nemůžeme použít větu nabývání mezihodnot. Odpověď můžeme zapsat takto. f je spojitá, ale 0 není mezi f(4 ) a f(6). Proto nemůžeme použít větu o nabývání mezihodnot. Pojďme na druhý příklad. Můžeme za pomoci věty o nabývaní mezihodnot říct, že existuje 'c' z uzavřeného intervalu od 2 do 4 splňující: g(c) je rovno 0? Pokud ano, své tvrzení odůvodněte. Máme zadáno, že f je spojitá. Dokonce spojitá nejen na daném intervalu, ale ze zadání i všude jinde. Podívejme se, jakých hodnot nabývá v krajních bodech daného intervalu. Mluvíme o tomto uzavřeném intervalu od 2 do 4. Víme, že f(2) je rovno −2. Kolik je f(4)? f(4) je rovno 3. Celkem tedy, 0 je mezi f(2) a f(4). Můžeme si to představit na obrázku. Nemůžeme nakreslit nepřerušovanou čáru mezi těmito dvěma body tak, že neprotneme bod, kde f je rovna 0. Proto podle věty o nabývání mezihodnot můžeme říct následující. Existuje hodnota ‚c‘ z uzavřeného intervalu od 2 do 4 taková, že f(c) je 0. Vypadá to sice trochu složitě, ale hlavní myšlenka je velmi intuitivní. Co se stane, když nakreslíme nepřerušovanou čáru mezi těmito dvěma body? Protneme určitě každou hodnotu od f(2) do f(4) alespoň jednou.