Věta o nabývání mezihodnot

V tomto videu se budeme zabývat větou o nabývání mezihodnot. Navzdory tomu, že věta vypadá dost komplikovaně, je jednou z nejintuitivnějších vět, možná dokonce tou nejintuitivnější větou, se kterou se ve velké části matematiky setkáte. Nejprve vám větu přečtu, poté ji vysvětlím a snad všichni dojdeme k závěru, že je to jasné. Nebudu ji teď dokazovat, ale její podstata by měla být jasná. Věta mluví o funkci f spojité v každém bodě intervalu, a to uzavřeného intervalu, takže včetně bodů ‚a‘ a ‚b‘, o funkci spojité v každém bodě intervalu od ‚a‘ do ‚b‘. Nakresleme si pár příkladů, jak taková funkce f může vypadat. Funkce f spojitá v každém bodě intervalu od ‚a‘ do ‚b‘. Nakresleme zde osy. Tady bude osa y. Tohle bude osa x. Ještě zakreslíme body ‚a‘ a ‚b‘. f je funkce spojitá v každém bodě uzavřeného intervalu od ‚a‘ do ‚b‘. To znamená, že musí být v každém bodě také definovaná. Aby mohla být spojitá, musí být vůbec definovaná a limita funkce v daném bodě musí být rovna funkční hodnotě v tomto bodě. Funkce tak určitě bude definovaná v bodě ‚a‘. Tady někde bude funkční hodnota v bodě ‚a‘. Tohle bude f(a). Řekněme třeba, že hodnota f v bodě ‚b‘ bude větší, i když by mohla nastat i jiná situace. Tohle bude f(b). Ze znění věty víme, že to má být spojitá funkce. Jeden ze způsobů, jak si představit spojitou funkci na intervalu, je ten, že vezmeme počátek intervalu a v něm funkční hodnotu, a pokud je funkce na intervalu spojitá, tak se musíme dostat do funkční hodnoty na konci intervalu bez zvedání tužky. Takže tady můžu provádět různé věci, jen musí jít stále o funkci, tudíž nemůžu udělat něco takového, ale pokud při kreslení grafu nezvednu tužku z papíru, půjde o spojitou funkci. Pokud bych při kreslení grafu z nějakého důvodu musel zvednout tužku, kdybych musel udělat něco takového, pak musel zvednout tužku a takto pokračovat, tak už by nešlo o spojitou funkci. Stejně tak v tomto případě obdržíme nespojitou funkci. Kdybych šel nejdřív takto nahoru, pak zvedl tužku a pokračoval dole, tak už to nebude spojitá funkce. Takto tedy vypadá funkce spojitá na uzavřeném intervalu od ‚a‘ do ‚b‘. Můžeme si nakreslit ještě další příklady. Zkusme nakreslit funkci, jejíž hodnota v bodě ‚b‘ je menší než hodnota v bodě ‚a‘. Tohle bude moje osa y. Tady bude osa x. ‚a‘ a ‚b‘ klidně nemusí být kladná čísla, mohou být obě záporná. Zvolme ‚a‘ záporné a ‚b‘ kladné. Hodnoty funkce v bodech ‚a‘ a ‚b‘ mohou být také kladné nebo záporné. Pro náš příklad zvolme f v bodě ‚a‘ tady a f v bodě ‚b‘ zvolme tady. Připomeňme, že f musí být spojitá funkce, takže bych měl být schopen spojit body f(a) a f(b), aniž při tom zvednu tužku. Funkce může vypadat třeba takto. Mohla by jít nejdříve takto, pak směřovat dolů a nakonec udělat něco takového. To jsou dva příklady funkcí, a takových příkladů může být nekonečně mnoho, které jsou spojité v každém bodě uzavřeného intervalu od ‚a‘ do ‚b‘. S tímto předpokladem má pak věta o nabývání mezihodnot dvě možné varianty. V literatuře se vyskytuje v obou variantách, proto je zde uvádím. První říká, že pokud je splněn tento předpoklad, pak f na tomto intervalu nabyde každou hodnotu mezi f(a) a f(b). V obou našich příkladech vidíte, že každá hodnota mezi f(a) a f(b), že každou z těchto hodnot funkce v nějakém bodě nabývá. Můžeme vybrat libovolnou hodnotu. Vyberme například tuto hodnotu L. Vidíme, že hodnotu L funkce nabyla tady. Pokud si vezmeme L tady, tak zjistíme, že je nabýváno rovnou ve třech případech. Druhá odrážka u věty mluví právě o tomhle. Pro libovolné L mezi hodnotami f(a) a f(b) existuje ‚c‘ z uzavřeného intervalu od ‚a‘ do ‚b‘ takové, že L se rovná f(c). Přesněji existuje alespoň jedno ‚c‘. V našem prvním případě bude ‚c‘ tady. Ve druhém případě máme pro ‚c‘ více možností. ‚c‘ by mohlo být zde nebo bychom ho mohli zvolit tady. Mohli bychom tedy říct, že existuje alespoň jedno takové číslo, alespoň jedno číslo ‚c‘ v tomto intervalu, pro které je tohle pravda. Zábavou na pár minut může být zkusit si nakreslit funkci, která splňuje předpoklad věty, ale pro niž druhé tvrzení neplatí. Řekněme, že existuje L, pro které v daném intervalu neexistuje takové ‚c‘. Zkusme to tu vytvořit společně. Nakresleme si velký obrázek, abychom doopravdy viděli, jak je jasné, že funkce nabyde všechny hodnoty mezi f(a) a f(b). Nakresleme si velké osy. Tohle bude osa y. Tady bude osa x. Pro jednoduchost uděláme ten případ, kdy je ‚a‘ tady a ‚b‘ tady. Řekněme, že f(a) je zde. Tady bude f(a). A řekněme, že f(b) je zde. Dále předpokládáme, že máme spojitou funkci. Tedy graf mezi f(a) a f(b) dokážu nakreslit, aniž bych zvedl tužku z papíru. Z bodu [a;f(a)] do bodu [b;f(b)] bez zvednutí tužky z papíru. Rovněž však předpokládáme, že existuje takové L, jehož hodnotu funkce nenabyde. Řekněme, že zde je hodnota L a že tuto hodnotu funkce nikdy nenabude, že naše spojitá funkce nikdy nenabude této hodnoty, když jdeme z bodu x rovno ‚a‘ do bodu x rovno ‚b‘. Podívejme se, jestli to dokážeme nakreslit. Podívejme se, zda se odsud sem dokážu dostat, aniž bych protnul tuto přerušovanou čáru. Můžu...tady ještě chvilku počkám... Jak se tam ale dostanu, aniž bych zvedl tužku? Prostě nutně musím protnout tuhle čáru. Tím ale funkce nabyla hodnoty L v tomto bodě ‚c‘, který leží v našem uzavřeném intervalu. Připomínám, že se nejedná o důkaz, ale snad nyní máte aspoň představu o tom, že věta o nabývání mezihodnot odpovídá selskému rozumu. Důležité je, že pracujeme se spojitými funkcemi. Pokud nakreslíme graf mezi body [a;f(a)] a [b;f(b)] a nezvedneme přitom tužku z papíru, což platí pro spojité funkce, tak funkce nabude všechny hodnoty mezi f(a) a f(b).