Řešený příklad: použití věty o nabývání mezihodnot

Funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu od −2 do 1, přičemž f v bodě −2 je 3 a f v bodě 1 je 6. Které z následujících tvrzení je splněno díky větě o nabývání mezihodnot? Než se na to vrhneme, tak si připomeňme, co o větě o nabývání mezihodnot víme. Můžeme ji zde použít. f je spojitá funkce na uzavřeném intervalu. Známe funkční hodnotu v bodě −2. Je to 3, napišme si to sem. f v bodě −2 je rovno 3 a f v bodě 1, jak nám říkají v zadání, se rovná 6. Věta o nabývání mezihodnot nám říká... pokud je toto pro vás úplně nové, podívejte se na naše video o této větě. ...tato věta říká, že každá spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá všech hodnot mezi funkčními hodnotami na krajích tohoto intervalu. Jinak řečeno, pro libovolné L od 3 do 6 existuje alespoň jedno ‚c‘ v uzavřeném intervalu od -2 do 1 takové, že f v bodě ‚c‘ je rovno L. Tohle přesně říká věta o nabývání mezihodnot. Jednodušeji řečeno, tohle je spojitá funkce... za chvilku si i nějakou nakreslíme... takže dává smysl, že pokud je funkce spojitá, a já tak při kreslení grafu nesmím zvednout tužku z papíru, tak dává smysl, že funkce musí nabýt všech hodnot mezi 3 a 6, neboli že v alespoň jednom bodě tohoto intervalu nabude danou hodnotu mezi 3 a 6. Podívejme se, která z odpovědí s tímto souhlasí. Vybíráme pouze jednu. f v bodě ‚c‘ je rovno 4, což odpovídá tomu, že L je rovno 4, a tak existuje alespoň jedno ‚c‘ z tohoto intervalu takové, že f v bodě ‚c‘ je 4. To můžeme říci. Avšak to není totéž, co se tvrdí zde. f v bodě ‚c‘ může být 4 pro alespoň jedno ‚c‘, ale ne na tomto intervalu. ‚c‘ je teď naše x. Proto musí být ‚c‘ z tohoto intervalu. Za chvilku si situaci znázorníme i na obrázku. Věta neříká, že pro alespoň jedno ‚c‘ mezi 3 a 6 se f v bodě ‚c‘ rovná 4, ale říká, že pro aspoň jedno ‚c‘ z tohoto intervalu bude f v bodě ‚c‘ rovno 4. Je důležité, že 4 je mezi 3 a 6, protože to je naše funkční hodnota. ‚c‘ pak musí ležet v našem uzavřeném intervalu na ose x. Tohle můžeme škrtnout, jen se nás tu snaží zmást. f v bodě ‚c‘ je rovno 0 pro alespoň jedno ‚c‘ mezi −2 a 1. V tomto případě je správně zvolen interval na ose x, v němž má ležet ‚c‘, ale věta o nabývání mezihodnot nám neříká, že f v bodě ‚c‘ bude rovno 0, jelikož 0 není v intervalu od 3 do 6. Proto tuto možnost můžeme také škrtnout. Následující můžeme ze stejného důvodu také škrtnout. Zbývá nám už jen poslední možnost. f v bodě ‚c‘ se rovná 4... To vypadá dobře, jelikož 4 je mezi 3 a 6. ...pro alespoň jedno ‚c‘ mezi −2 a 1. To vypadá také dobře, protože to je přesně tento interval. Takže tohle je správně. Také se na to můžeme dívat graficky. Věta o nabývání mezihodnot dává graficky dobrý smysl. Nejprve nakreslím osu x, nyní nakreslím osu y, kterou nakreslím v jiném měřítku, protože osa y... Pokud je tady 6, zde bude 3. To je osa y. Tady bude 1, zde bude -1, tady bude -2. Máme tedy spojitou funkci na uzavřeném intervalu od −2 do 1 a f v bodě −2 je rovno 3. Tak to zakreslíme. f v bodě -2 se rovná 3. To bude tento bod. f v bodě 1 se rovná 6. To je tento bod. Nyní zkusme nakreslit spojitou funkci. Tato spojitá funkce musí projít našimi dvěma body, a protože je spojitá, tak na ni intuitivně nahlížíme tak, že při kreslení grafu funkce procházející těmito body nesmím zvedat tužku z papíru. Nemůžu udělat něco takového, protože bych musel zvednout tužku. Jde o spojitou funkci. Jak vidíme, tak opravdu nabývá všech hodnot mezi 3 a 6. Může pak nabývat i jiné hodnoty, ale s jistotou víme, že nabývá všech hodnot mezi 3 a 6. Zajímá nás hodnota 4, ta je zde. Tak, jak jsem to nakreslil, to vypadá, že této hodnoty nabývá přesně na ose y. Zapomněl jsem označit osu x. Můžeme tedy vidět, že hodnotu 4 funkce nabyla pro toto ‚c‘ mezi -2 a 1. Graf jsem mohl nakreslit mnoha jinými způsoby. Mohl jsem ho nakreslit třeba... hodnotu 4 funkce dokonce nabývá několikrát. Takže i tohle by mohl být náš bod ‚c‘, protože leží v intervalu od -2 do 1. Také tohle by mohl být náš bod ‚c‘, opět leží v intervalu od -2 do 1. Nebo by tohle mohl být bod ‚c‘ ležící v intervalu od -2 do 1. Tak se mi to zrovna podařilo nakreslit. Mohl jsem taky jednoduše nakreslit přímku. Mohl jsem to udělat takto. Pak funkce hodnotu 4 nabude pouze jednou, a to zhruba někde tady. Tohle nutně pravda být nemusí, že funkce nabývá hodnotu 4 pro aspoň jedno ‚c‘ mezi 3 a 6. Body 3 a 6 ani nemáme v grafu. Musel bych jít až do... 2, 3... Nemáme žádnou záruku, že funkce nabude hodnotu 4 pro nějaké ‚c‘ mezi 3 a 6. O chování funkce, když je x mezi 3 a 6, nevíme vůbec nic.