Opakování věty o nabývání mezihodnot

Věta o nabývání mezihodnot mluví o klíčové vlastnosti spojitých funkcí: jakákoli funkce $f$‍, která je spojitá na intervalu [a,b], nabude na tomto intervalu všechny hodnoty mezi $f(a)$‍ a $f(b)$‍.

Kdybychom to chtěli napsat formálněji, tak věta říká, že pro každé $L$‍ mezi $f(a)$‍ a $f(b)$‍ existuje $c$‍ v intervalu $[a,b]$‍ tak, že $f(c)=L$‍.

Tato věta dává přirozený smysl, když si uvědomíme, že při kreslení grafu spojitých funkcí nemusíme zvedat tužku z papíru. Když víme, že graf prochází body $[a;f(a)]$‍ a $[b;f(b)]$‍...

... tak musí nabývat také všech hodnot $y$‍ mezi $f(a)$‍ a $f(b)$‍:

Představ si, že máme spojitou funkci $f$‍ a tabulku některých jejích funkčních hodnot. Zkusme určit, kde se nalézá řešení rovnice $f(x)=2$‍.

Všimni si, že $f(-1)=3$‍ a $f(0)=-1$‍. Na intervalu $[-1;0]$‍ tak funkce musí nabývat všech hodnot mezi $-1$‍ a $3$‍.

Číslo $2$‍ je mezi $-1$‍ a $3$‍, takže v intervalu $[-1;0]$‍ musí být takové $c$‍, že $f(c)=2$‍.