Řešený příklad: Derivace ∜(x³+4x²+7) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce

Řekněme, že chceme spočítat derivaci podle x ze čtvrté odmocniny z výrazu: x na třetí plus 4 krát x na druhou plus 7. Nejprve si asi řeknete: „Jak se derivuje čtvrtá odmocnina z něčeho?“ „Vypadá to, že mám složenou funkci, protože mám čtvrtou odmocninu z nějakého výrazu.“ To je pravda. A když derivujete složenou funkci, měli byste myslet na pravidlo pro derivaci složené funkce. Nejprve si tuto čtvrtou odmocninu přepišme tak, aby se nám s ní lépe pracovalo. Čtvrtou odmocninu můžeme napsat jako mocninu ve tvaru zlomku. Toto se tedy bude rovnat derivaci podle x z výrazu: (x na třetí plus 4 krát x na druhou plus 7) na (1 lomeno 4). Jak tohle zderivovat? Jak jsem před chvílí řekl, můžeme se na to dívat jako na složenou funkci. Nejprve naše x dosadíme sem, takže si to označme třeba jako u(x), a výslednou hodnotu u(x) pak umocníme na tuhle mocninu. Derivaci tedy spočítáme tak, že zderivujeme tuto vnější funkci podle u(x) a pak to vynásobíme derivací ‚u‘ podle x. Tak pojďme na to. Tohle se tedy rovná... Vnější funkci, kterou právě zvýrazňuji zelenou, tedy funkci, která mi něco umocní na (1 lomeno 4), zderivuji podle vnitřní funkce, tedy podle u(x). K tomu použiji derivaci mocniny. Jednu čtvrtinu napíšu dopředu, takže to bude (1 lomeno 4) krát to, podle čeho derivuji, umocněno na (1 lomeno 4) minus 1. Jen jsem použil vzorec pro derivaci mocniny. Nemám tady x, dělám totiž derivaci podle u(x), tedy podle tohoto polynomu, takže sem musím napsat u(x). Musím sem napsat x na třetí plus 4 krát x na druhou plus 7. Tohle teď musím vynásobit... Podle pravidla o derivaci složené funkce mám zderivovat vnější funkci podle vnitřní a pak to vynásobit derivací vnitřní funkce. Čemu se tedy rovná derivace u(x)? ‚u‘ s čárkou v bodě x... Jen několikrát použijeme vzorec pro derivaci mocniny. ...se rovná 3 krát x na druhou plus 2 krát 4 je 8, tohle krát x na (2 minus 1), tedy x na prvou, což mohu napsat jako 8 krát x. Derivace podle x ze 7... Derivace podle x z konstanty je 0. Takto tedy vypadá u(x) s čárkou, kterou teď musím vynásobit, takže to bude krát (3 krát x na druhou plus 8 krát x). Tohle bych možná mohl trochu zjednodušit. Bude se to rovnat... Vlastně jenom přepíšu exponent. (1 lomeno 4) minus 1 se rovná minus (3 lomeno 4). Tohle ještě můžete různě upravovat. Důležité je ale poznat, že je třeba použít pravidlo o derivaci složené funkce. Derivace vnější funkce podle... První důležitou věcí vlastně bylo to, že čtvrtá odmocnina je totéž jako mocnění na (1 lomeno 4). To je základní vlastnost mocnin. Poté bylo důležité poznat, že jde o složenou funkci, takže je třeba zderivovat vnější funkci podle vnitřní, což máme tady, a to vynásobit derivací vnitřní funkce podle x. Kdyby vám teď někdo zadal, že f(x) se rovná čtvrtá odmocnina z výrazu: x na třetí plus 4 krát x na druhou plus 7, a ptal se, čemu se rovná f s čárkou v bodě −3, tak byste tohle museli vyčíslit pro x rovno −3. Tak to udělejme. Bude to (1 lomeno 4) krát (−27... Doufám, že to vyjde nějak hezky. ...plus 36 plus 7) umocněno na minus (3 lomeno 4). Čemu se tohle rovná? Bude se to rovnat... Tohle je 16, protože −27 plus 7 je −20, k čemuž ještě přičteme 36. Tady tedy bude 16. Myslím, že to vyjde hezky. Tohle musíme vynásobit... 3 krát 9 je 27 a ještě musíme odečíst 24, takže to musíme vynásobit 3. Čemu se rovná 16 na minus (3 lomeno 4)? Toto se tedy rovná (1 lomeno 4) krát... 16 na (1 lomeno 4) je 2, což následně mocníme na... Raději nebudu přeskakovat kroky. V tuhle chvíli už je to algebra nebo možná pokročilejší aritmetika. Bude to tedy krát 16 na (1 lomeno 4), což následně umocníme na minus třetí, krát tato 3, kterou mohu napsat sem. 16 na (1 lomeno 4) je 2. 2 na třetí je 8, takže 2 na minus třetí je 1 lomeno 8. Máme tedy (3 lomeno 4) krát (1 lomeno 8), což se rovná 3 lomeno 32. Taková je směrnice tečny ke grafu funkce y rovná se f(x) v bodě x rovno −3.