Řešený příklad: Derivace 7^(x²-x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce

Máme funkci y rovná se 7 umocněno na (x na druhou minus x). Čemu se rovná derivace y podle x? Jako vždy si zastavte video a zkuste na to přijít sami. Vzhledem k tomu, jak jsem to dopředu barevně označil, si hned můžete všimnout, že jde o složenou funkci, tedy že se na to můžeme dívat jako na složenou funkci. Když si zadefinujeme funkci v(x) rovná se 7 na x a další funkci u(x) rovná se x na druhou minus x, pak se naše y rovná... Je to 7 na něco, takže to bude ‚v‘ v bodě... Nebude to v(x), ale ‚v‘ v bodě u(x), protože místo x je v exponentu celá funkce u(x), x na druhou minus x. Toto se tedy rovná ‚v‘ v bodě u(x). Podle pravidla o derivaci složené funkce se derivace y podle x... Tuto derivaci můžeme zapsat různě. Občas to můžete vidět jako derivace ‚v‘ podle ‚u‘, tedy jako ‚v‘ s čárkou v bodě u(x), krát derivace ‚u‘ podle x. To je jeden možný zápis. Nebo můžete napsat, že toto se rovná derivace ‚v‘ podle x... Pardon, derivace ‚v‘ podle ‚u‘. ...dv lomeno du krát derivace ‚u‘ podle x. Ať už to napíšeme jakkoli, pojďme to teď spočítat. Čemu se rovná derivace ‚v‘ podle ‚u‘? Čemu se rovná ‚v‘ s čárkou v bodě u(x)? Víme... Napíšu to sem. Když je v(x) rovno 7 na x, ‚v‘ s čárkou v bodě x se rovná... Toto jsme si dokázali ve videích, ve kterých jsme derivovali exponenciální funkce o jiném základu než e. Bude to přirozený logaritmus ze 7 vynásobený 7 na x. Když nás tedy zajímá ‚v‘ s čárkou v bodě u(x), tak všude místo x budeme mít u(x), takže zde bude přirozený logaritmus ze 7 vynásobený 7 na... Nemůžeme napsat 7 na x, protože nás zajímá ‚v‘ s čárkou v bodě u(x), ale bude to 7 na (x na druhou minus x). Tohle teď ještě musíme vynásobit derivací ‚u‘ podle x. ‚u‘ s čárkou v bodě x je 2 krát x na prvou, což je 2 krát x, minus 1, takže zde musíme vynásobit výrazem (2 krát x minus 1). A je to, toto je derivace y podle x. Mohli bychom ji ještě zkusit zjednodušit nebo nějak přepsat, ale hlavní věcí tady je, že musíme udělat derivaci (7 na u(x)) podle u(x). S u(x) tedy počítáme tak, jak bychom tady počítali s x, takže dostaneme přirozený logaritmus ze 7 vynásobený 7 na u(x). To ale ještě musíme vynásobit derivací ‚u‘ podle x. K tomu všemu nám stačilo jen pravidlo o derivaci složené funkce.