Důkaz pravidla pro derivaci složené funkce

Důkaz pravidla pro derivaci složené funkce.

Pravidlo pro derivaci složené funkce nám říká, jak nalézt derivaci složené funkce:

\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

Ke zvládnutí tohoto kurzu není znalost důkazu nezbytná, avšak věříme, že jeho pochopení může být poučné. K úplnému pochopení problematiky je vždy důležité umět odůvodnit platnost tvrzení, která při výpočtech používáme.

Nejprve si dokážeme dvě drobná tvrzení, která pak využijeme k důkazu pravidla pro derivaci složené funkce.

(Drobná tvrzení, která jsou využívána k důkazu větší věty, jsou většinou nazývána lemmata.)

1. Pokud je funkce diferencovatelná, pak je i spojitá.

Khan Academy video

Proof: Differentiability implies continuityZobrazit přepis videa

2. Pokud je funkce $u$ ‍ spojitá v $x$ ‍, pak $Δ u \to 0$ ‍ pro $Δ x \to 0$ ‍.

Khan Academy video

If function u is continuous at x, then Δu→0 as Δx→0 Zobrazit přepis videa

Nyní můžeme přistoupit k důkazu pravidla pro derivaci složené funkce!

Khan Academy video

Chain rule proofZobrazit přepis videa

Bonus: Pravidlo pro derivaci složené funkce a pravidlo pro derivaci součinu můžeme využít k důkazu pravidla pro derivaci podílu.

Pravidlo pro derivaci složené funkce nám říká, jak nalézt derivaci podílu:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}] & = \frac{\frac{d}{d x} [f (x)] \cdot g (x) - f (x) \cdot \frac{d}{d x} [g (x)]}{[g (x)]^{2}} \\ = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}} . \end{aligned}

Khan Academy video

Quotient rule from product & chain rulesZobrazit přepis videa

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Diferenciální počet

Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 3

Nejprve si dokážeme dvě drobná tvrzení, která pak využijeme k důkazu pravidla pro derivaci složené funkce.

1. Pokud je funkce diferencovatelná, pak je i spojitá.

2. Pokud je funkce u‍ spojitá v x‍ , pak Δu→0‍ pro Δx→0‍ .

Nyní můžeme přistoupit k důkazu pravidla pro derivaci složené funkce!

Bonus: Pravidlo pro derivaci složené funkce a pravidlo pro derivaci součinu můžeme využít k důkazu pravidla pro derivaci podílu.

Chceš se zapojit do diskuze?

2. Pokud je funkce $u$ ‍ spojitá v $x$ ‍, pak $Δ u \to 0$ ‍ pro $Δ x \to 0$ ‍.