Řešený příklad: Derivace log₄(x²+x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce

Máme funkci y rovná se logaritmus o základu 4 z (x na druhou plus x). Čemu se rovná derivace y podle x? Možná už teď vidíte, že toto je složená funkce. Nemáme logaritmus o základu 4 jenom z x, ale z jiného výrazu obsahujícího proměnnou x. Mohli bychom si tedy říct, že tento modrý výraz označíme jako u(x). Napíšu to modře. Modrý výraz označíme jako u(x), takže u(x) se bude rovnat x na druhou plus x. Později se bude hodit vědět, čemu se rovná ‚u‘ s čárkou v bodě x. To se rovná, když použiji pravidlo pro derivaci mocniny, 2 krát x plus 1. 2 jsem napsal dopředu a zmenšil jsem exponent a derivace x podle x je 1. Logaritmus o základu 4 z tohoto výrazu můžeme označit jako funkci ‚v‘. Funkce v(x) tedy bude logaritmus o základu 4 z ‚x‘. V jiných videích jsme si ukázali, že ‚v‘ s čárkou v bodě x bude velmi podobná tomu, kdyby to byl logaritmus o základu e, neboli přirozený logaritmus, ale ještě to musíme přenásobit. Bude to 1 lomeno logaritmus o základu 4... Pardon, 1 lomeno (přirozený logaritmus ze 4 vynásobený x). Kdyby v(x) bylo přirozený logaritmus x, tak by derivace byla 1 lomeno x, ale jde o logaritmus o základu 4... Tohle plyne ze vzorce pro změnu základu logaritmu, o kterém máme samostatné video. Jmenovatel tedy musíme přenásobit přirozeným logaritmem ze 4, neboli celý výraz přenásobíme výrazem 1 lomeno přirozený logaritmus ze 4. Tohle teď využijeme, protože na y se nyní můžeme dívat jako na ‚v‘ v bodě... ‚v‘ jsme definovali jako logaritmus o základu 4 z něčeho. Nebude to ovšem v(x), protože tady není jenom x, ale máme tu výraz, který jsme označili jako u(x), takže sem musíme napsat u(x). Nakreslím zde čáru, aby se nám věci na jednotlivých stranách nepletly. Podle pravidla o derivaci složené funkce víme, že derivace y podle x se rovná: derivace ‚v‘ podle ‚u‘, neboli ‚v‘ s čárkou v bodě u(x)... u(x) napíšu modře. ...‚v‘ s čárkou v bodě u(x) krát ‚u‘ s čárkou v bodě x. Čemu se rovná ‚v‘ s čárkou v bodě u(x)? Víme, čemu se rovná v(x) s čárkou. Když chceme znát ‚v‘ s čárkou v bodě u(x), musíme všude místo x napsat u(x), takže toto se rovná ‚v‘ s čárkou v bodě u(x)... Jde vlastně o derivaci zelené funkce podle modré funkce. Bude to tedy 1 lomeno (přirozený logaritmus ze 4 vynásobený... Místo toho, abychom napsali x, tam musíme napsat u(x). ...vynásobený u(x)), tohle celé krát ‚u‘ s čárkou v bodě x. Dělám to ve více krocích, aby bylo lépe vidět, co tu dělám. Toto se rovná 1 lomeno (přirozený logaritmus ze 4... u(x) se rovná x na druhou plus x, ...krát (x na druhou plus x)), tohle celé krát ‚u‘ s čárkou v bodě x, tedy krát (2 krát x plus 1). Tohle ještě můžeme přepsat jako: (2 krát x plus 1) lomeno přirozený logaritmus ze 4 krát (x na druhou plus x). A máme hotovo, i když ještě můžeme roznásobit přirozeným logaritmem ze 4, ale právě jsme spočítali derivaci y podle x.