Chyby při hledání inflexních bodů: nedefinovaná druhá derivace

Robert měl za úkol zjistit, jaké inflexní body má funkce g(x), která se rovná třetí odmocnině z ‚x‘. Toto je jeho řešení. Dole se nás pak ptají: „Postupoval Robert správně? Pokud ne, v čem udělal chybu?“ Zastavte si video a zkuste to nejprve vyřešit sami. Teď se na to podívejme společně. Naše původní funkce g(x) se rovná třetí odmocnině z ‚x‘, což je totéž jako x na (1 lomeno 3). Vypadá to, že v kroku 1 chtěl Robert spočítat první a druhou derivaci. První derivace je derivace mocniny, takže vyjde (1 lomeno 3) krát x na... Exponent zmenšíme o 1, takže tohle vypadá dobře. Druhou derivaci zjistíme tak, že tohle vynásobíme (1 lomeno 3), což se rovná minus (2 lomeno 9), a minus (2 lomeno 3) zmenšíme o 1, což nám skutečně dá minus (5 lomeno 3), takže tohle taky vypadá dobře. Nakonec se to Robert pokusil přepsat. Pořád tu máme minus (2 lomeno 9) a potom Robert správně poznal, že je to totéž jako mít x na (5 lomeno 3) ve jmenovateli a že x na (5 lomeno 3) je to samé co třetí odmocnina z (x na pátou). Zatím to všechno vypadá dobře. Krok 1 je správně. V kroku 2 to vypadá, že se Robert snažil najít řešení... Snažil se najít ta čísla ‚x‘, pro která je druhá derivace rovna 0. Je skutečně pravda, že tato rovnice nemá řešení, tedy že tato druhá derivace nebude nikdy rovna 0. Aby to bylo rovno 0, čitatel by musel být rovný 0, ale 2 se nikdy nebude rovnat 0, takže tohle je správně. V kroku 3 Robert říká, že funkce g nemá žádné inflexní body. Tohle je trochu podezřelé. V mnoha případech je inflexní bod ten bod, ve kterém je druhá derivace rovna 0, i když v té chvíli ještě nevíme, že je to inflexní bod, je to jen bod podezřelý, u kterého musíme ověřit, že druhá derivace mění znaménko při průchodu tímto bodem x. Zde nenastává situace, že by se druhá derivace rovnala 0, ale nesmíme zapomenout, že dalšími kandidáty na inflexní bod jsou body, pro které druhá derivace není definovaná. Robert tak tento závěr nemůže učinit bez toho, aby se podíval, kde není druhá derivace definovaná. Například mohl napsat, že g se dvěma čárkami není definovaná pro... Pro které body? Tento výraz není definovaný pro x rovno 0. 0 na 5 je 0 a třetí odmocnina z toho je zase 0, takže bychom dělili nulou. g se dvěma čárkami tedy není definovaná pro x rovno 0. Z toho důvodu je bod x rovno... Můžeme říci, že kandidátem na inflexní bod je bod x rovná se 0. Tento bod teď musíme vyzkoušet. Můžeme si udělat takovou tradiční tabulku, kterou jste možná už někdy dřív viděli. V tabulce bude interval, nebo spíše intervaly, dále dosazované hodnoty z těchto intervalů, u kterých musíme být pozorní, aby opravdu ležely v daném intervalu, pak znaménko druhé derivace, tedy g se dvěma čárkami, a nakonec sloupeček pro konvexitu funkce g. Aby byl bod x rovno 0 inflexním bodem, musíme změnit znaménko při... Druhá derivace musí změnit znaménko při průchodu bodem x rovno 0, což by znamenalo, že konvexita funkce g se mění při průchodu bodem x rovno 0. Podívejme se tedy na čísla menší než 0, což je interval od minus nekonečna do 0, a pak na čísla větší než 0, tedy interval od 0 do nekonečna. Dosazovanými hodnotami budou řekněme −1 a 1. U těchto hodnot si musíte dát pozor. Musíte vybrat něco dostatečně blízko tak, aby mezi těmito dosazovanými hodnotami nedošlo k ničemu neobvyklému, dokud se nedostaneme k danému kandidátovi na inflexní bod. Jaké je znaménko druhé derivace, když je x rovno −1? Když je x rovno −1... (−1) na pátou je −1, třetí odmocnina z −1 je −1, takže budeme mít minus (2 lomeno 9) děleno −1, což bude plus (2 lomeno 9). Znaménko tak bude v tomto případě kladné. Tohle platí obecně pro libovolné záporné číslo, protože libovolné záporné číslo na pátou je zase záporné číslo, třetí odmocnina z tohohle bude taky záporné číslo a záporné číslo dělené záporným číslem bude nějaké kladné číslo. Vypadá to tedy, že tato dosazovaná hodnota dobře odráží chování na celém intervalu. Když dosadíme nějaké kladné číslo, tak po umocnění na pátou to bude stále kladné, třetí odmocnina z toho bude taky kladné číslo, ale minus (2 lomeno 9) pak budeme dělit kladným číslem, takže to bude záporné. Konvexita funkce g se tedy skutečně mění při průchodu bodem x rovno 0. Pro x menší než 0 je funkce konvexní, protože druhá derivace je kladná, a pro x větší než 0 je funkce konkávní. Napíšu to trochu... Konkávní, a to pro x větší než 0. Při průchodu bodem x rovno 0 tedy došlo ke změně konvexity, což znamená, že x... Měníme znaménko... g se dvěma čárkami mění znaménko při průchodu bodem x rovno 0 a naše funkce je v bodě x rovno 0 definovaná, z čehož plyne, že bod x rovno 0 je inflexní bod. Pokud víte, jak vypadá graf třetí odmocniny, tak byste viděli, že funkce má v tomto místě skutečně inflexní bod. A máme to. Robert udělal chybu v kroku 3, protože g má inflexní bod. Druhá derivace v něm však není rovna 0, ale je nedefinovaná.