Určení inflexních bodů funkce algebraicky

g(x) se rovná (1 lomeno 4) krát (x na čtvrtou) minus 4 krát (x na třetí) plus 24 krát (x na druhou). Které body x jsou inflexními body funkce g? Připomeňme si, co to je inflexní bod. Inflexní bod je bod, ve kterém se mění konvexita funkce. To můžeme říci také tak, že druhá derivace, tedy g(x) se dvěma čárkami, mění znaménko. Podívejme se tedy na druhou derivaci. Abychom se na ni mohli podívat, musíme ji nejdřív spočítat. Víme, že g(x) se rovná (1 lomeno 4) krát (x na čtvrtou) minus 4 krát (x na třetí) plus 24 krát (x na druhou). Když tohle víme, spočítejme si g(x) s čárkou. g(x) s čárkou se rovná... Jen několikrát použijeme vzorec pro derivaci mocniny. 4 krát (1 lomeno 4) je 1, což sem ani psát nemusím. Bude to 1 krát x na (4 minus 1), tedy x na třetí, minus... 3 krát 4 je 12, tohle krát x na (3 minus 1), takže minus 12 krát (x na druhou), plus 2 krát 24, což je 48, tohle krát x na (2 minus 1), tedy plus 48 krát (x na prvou), což mohu napsat jako 48 krát x. To byla první derivace, teď spočítáme druhou derivaci. g(x) se dvěma čárkami je derivace první derivace podle x. Podle vzorce pro derivaci mocniny to bude: 3 krát (x na druhou) minus 24 krát (x na prvou), což můžeme napsat jako 24 krát x, plus 48. Zamysleme se tedy, kdy tento výraz změní znaménko. Jde o spojitou funkci definovanou pro všechna x, takže jediní kandidáti na body, v nichž může dojít ke změně znaménka, jsou body, pro které je tento výraz rovný nule. Podívejme se tedy, kdy se tohle rovná nule. Položme to rovno nule. 3 krát (x na druhou) minus 24 krát x plus 48 se rovná 0. Každý člen je dělitelný 3, takže vydělíme 3, čímž dostaneme, že x na druhou minus 8 krát x plus 16 se rovná 0. Dokážeme tohle rozložit na součin? Ano, je to (x minus 4) krát (x minus 4), což můžeme taky napsat tak, že (x minus 4) na druhou se rovná 0, tedy že x minus 4 se rovná 0 neboli že x je rovno 4. g se dvěma čárkami v bodě 4 je tedy rovno 0. Podívejme se, co se děje po obou stranách tohoto bodu. Podívejme se, zda skutečně dojde ke změně znaménka. Nakreslím si sem číselnou osu. Tady bude 2, 3, 4, 5 a mohl bych ještě pokračovat. Víme, že zde se děje něco zajímavého. g se dvěma čárkami v bodě 4 se rovná 0. Zamysleme se nyní, jaké má druhá derivace znaménko, když je x menší než 4. Spočítejme g se dvěma čárkami v bodě 0, protože s tím se bude dobře počítat. g se dvěma čárkami v bodě 0 se rovná 48. Když je tedy x menší než 4, druhá derivace je větší než 0, takže původní funkce bude na tomto intervalu nalevo od 4 konvexní. Nyní se podívejme na čísla napravo od 4. Udělám to jinou barvou. Jak to bude pro čísla napravo od 4? Dosadím třeba... Co by se potom dobře počítalo? Mohli bychom spočítat g se dvěma čárkami v bodě... Proč nezkusit třeba druhou derivaci, tedy g se dvěma čárkami, v bodě 10? Takže g... Napíšu to sem. Raději sjedu trochu dolů, abych měl víc místa. g se dvěma čárkami v bodě 10 se bude rovnat: 3 krát (10 na druhou), což je 300, minus 24 krát 10, tedy minus 240, plus 48. Tohle je 60. 300 minus 240 je 60 a k tomu přičítáme 48, takže to bude 108. Vyšlo nám to zase kladné. Po obou stranách bodu 4 je tak g(x) se dvěma čárkami větší než 0. I když se tedy druhá derivace v bodě x rovno 4 rovná nule, funkce je na obou stranách tohoto bodu konvexní, druhá derivace je na obou stranách kladná. Protože to byl jediný možný kandidát na inflexní bod, tak žádný bod x není inflexním bodem funkce g. x rovno 4 by byl inflexní bod funkce g, kdyby v něm druhá derivace změnila znaménko, ať už z kladného na záporné nebo ze záporného na kladné. V našem případě ale druhá derivace zůstává kladná. Druhá derivace je kladná, zde nabývá 0 a pak je zase kladná. Když se tedy vrátíme k zadané otázce, jaké jsou inflexní body funkce g, tak odpověď je: „Funkce nemá žádné inflexní body!“ Pro dramatičnost tam přidám vykřičník.