Integrování konstantou vynásobené funkce

Už jsme to viděli a asi vás unavuju tím, jak na to opakovaně upozorňuju. Tady tahle žlutá plocha, tahle plocha pod křivkou y rovno f(x) a nad kladnou osou x, nebo myslím, že můžu prostě říct nad osou x mezi x rovno A a x rovno B. Takže můžeme označit tady tuto plochu jako určitý integrál od A do B z f(x) podle dx. To, co bych chtěl v tomto videu projít… a ona se objeví taková odpověď, kterou byste si mohli tipnout sami, ale aspoň k tomu získáte intuitivní představu. Začal bych úvahou o ploše pod křivkou, která je násobenou verzí f(x). Řekněme, že je to y rovno c krát f(x). Y je rovno nějakému číslu krát f(x), to číslo tak mění velikost f(x). A já bych tedy chtěl, aby to bylo nějaké libovolné číslo, ale abych vám to vizualizoval, musím to načrtnout. Tak teď jen v mé hlavě… Předstírejme, že c jsou tři jen pro účely vizualizace. Takže to bude třikrát, místo jednou, místo takhle daleko, to bude asi takhle vzdálené. Místo takové vzdálenosti tady, to tady bude takhle daleko a další ještě zde. A pak místo… to bude zhruba tady. A místo toho, aby to bylo takhle, to bude jedna, dvě, tři, právě někde tady. Začínám tušit, jak ta křivka bude vypadat. Bude to vynásobená verze f(x), a to, co kreslím, je přinejmenším velmi podobné tři krát f(x), ale abyste si udělali představu, bude to vypadat asi takhle a podívejme se sem, tato vzdálenost dvakrát, třikrát, to bude až sem. Bude to vypadat zhruba nějak takhle. Bude to vypadat zhruba nějak takhle. Takže tohle je vynásobená verze a ta míra, kterou jsem použil, předpokládal jsem kladné c větší než nula, ale tohle je jen za účelem vizualizace. Kolik si myslíme, že bude plocha pod touto křivkou mezi A a B? Takže kolik si myslíme, že bude tahle plocha tady? Teď už víme, jak to můžeme označit. Tahle plocha pod křivkou je rovna určitému integrálu od A do B z funkce, kterou integrujeme, takže c krát f(x) podle dx. Řekl bych, aby ta otázka byla trochu jasnější, jak tohle souvisí s tímhle? Jak ta zelená plocha souvisí s tou žlutou plochou? Dobře, jedním ze způsobů je o tom přemýšlet tak, že jsme c krát vynásobili svislý směr. Čili jedna z možností, jak o tom přemýšlet, je, že hledáte nějakou plochu. Když mám plochu obdélníku a rozměr ve svislém směru je, řekněme… nechce se mi používat pořád dokola ta samá písmena. No tak řekněme, že svislý rozměr je alfa a vodorovný rozměr je beta. Víme, že plocha bude alfa krát beta. Teď když vynásobím svislý směr krát c, tak místo alfy to bude c krát alfa a tohle… šířka je beta, když vynásobím svislý rozměr krát c, tak tohle je teď c krát alfa, čemu se bude rovnat plocha? No to bude c krát alfa krát beta. Anebo jiný způsob, jak o tom přemýšlet. Když jeden rozměr vynásobím konstantou c, mám původní plochu a vynásobím ji krát c. A to je právě to, co děláme, násobíme svislý rozměr krát c. Když vynásobíte c krát f(x), f(x) nám dá svislou výšku. To se pak zjevně mění s tím, jak se mění x, ale když si vzpomenete na Riemannův součet, f(x) bylo tím, co nám určovalo výšku obdélníků. Teď zvětšujeme výšku, nebo spíš násobíme, protože výšku můžeme i zmenšovat podle toho, jakým c násobíme. Násobíme jeden rozměr krát c. Pokud vynásobíte jeden rozměr krát c, měníte rozměr plochy c krát. Takže tohle zde, ten integrál, to radši přepíšu. Integrál od A do B z c*f(x) podle dx, to je jednoduše to vynásobené… Vezmeme plochu pod f(x), to tedy udělám stejnou barvou. Vezmeme plochu pod křivkou f(x) od A do B z f(x) podle dx a prostě to vynásobíme tímhle c. Pak byste mohli říct: „Ok, možná se to dalo tušit, tak když mám c uvnitř integrálu, můžu teď to c vyjmout z integrálu“. A znovu, tohle není rigorózní důkaz založený na definici určitého integrálu, ale snad vám to dává trochu intuici, proč tohle můžete udělat. Když vynásobíte funkci, v podstatě násobíte svislý rozměr, proto to bude jen rozměrově změněná verze plochy pod křivkou původní funkce f(x). A znovu: opravdu, opravdu, opravdu užitečný nástroj určitých integrálů, který jich nám pomůže spoustu vyřešit a tak nějak objasnit, co s nimi vůbec děláme.