Integrování součtu funkcí

Máme tady pár funkcí. Tohle graf funkce y rovno f od x. Tohle graf funkce y rovno g od x. A už něco víme. Respektive známe způsoby, jak vyjádřit plochu pod křivkou y rovno f od x. Mezi dvěma body x rovno a a x rovno b. Takže tohle je plocha mezi křivkou a osou x mezi x rovno A a x rovno B. Víme, že to jde zapsat jako určitý integrál od a do b z funkce f od x podle dx. A tady můžeme udělat to samé. Tuhle plochu můžeme nazvat… Vyberu nějakou barvu, kterou jsem nepoužil. Tohle je trochu jiná zelená. Tuhle plochu bych mohl nazvat plocha pod křivkou y rovno g od x a nad kladnou poloosou x mezi x rovno A a x rovno B, mohli bychom ji nazvat určitým integrálem od a do b z funkce g od x podle dx. Na základě těchto dvou věcí uvažujme plochu pod křivkou funkce, která vznikne součtem těchto dvou funkcí. Takže co tím myslím? Tady bych… tohle mě vážně baví dělat. Začnu znovu. To je přesně to, co tu máme. Tohle je graf y rovno f od x. Ale to, co chci udělat, je aproximace grafu y rovno… mám za cíl načrtnout graf y je rovno f od x plus g od x. Takže pro libovolné zadané x, to bude f od x. Tak to je f od x. A já k tomu pak přidám g od x. Tak jak to bude vypadat? To bude vypadat… Tak schválně. Když je x nula, g od x bude takhle dlouhé. Samozřejmě dělám přibližný odhad. Takže budu muset přidat tu délku sem. Bude to tedy někde tady. V x rovno a je to trochu víc. A takhle, ale křivka f od x je pryč, nebo se zvýšila. Ale vezmu tu samou vzdálenost nad tím. Když tam přidám g od x, dostane mě to právě sem. Jen se na to koukám a snažím se dostat přibližnou hodnotu, což mi dává intuici v tom, co to vlastně f od x plus g od x je. Jen se snažím přičíst g od x pro zadané x. Teď se podívejme, pokud jsem o trošku… řekněme, že jsem mezi A a B, g od x je asi v téhle vzdálenosti. Tak kdybych chtěl přidat tu samou vzdálenost sem, dostane mě to sem, a pak když x je rovno b, g od x je zhruba takhle velké, tak musím přidat tu vzdálenost, což je asi… Vypadá to zhruba nějak takhle. To možná vypadá jako trochu moc. Možná něco takovéhleho. Takže kdybych ty dvě funkce měl sečíst, dostal bych křivku, která vypadá zhruba nějak takhle. A asi bude pokračovat výš a výš. Takže to je ta křivka. Je to celkem přesná aproximace té křivky f od x plus g od x. Teď jedna zajímavá otázka, co by bylo dobré… Chápete, jak tu plochu reprezentovat. Ta plocha je pod křivkou f od x plus g od x nad kladnou poloosou x mezi x rovno A a x rovno B, víme, že to můžeme reprezentovat jako… momentíček, růžovou jsem ještě nepoužil. Tady tahle plocha, víme, že ji můžeme reprezentovat jako určitý integrál od a do b z funkce f od x plus g od x podle dx. Teď je otázka, jak tahle věc souvisí s touhle nebo jak tahle plocha souvisí s touhle? No je důležité si uvědomit, že tahle plocha, kterou máme žlutě, to bude tady tahle plocha. Tohle je docela jasné, ale jak tahle zelená plocha souvisí s touto plochou? Abychom o tom mohli uvažovat, musíme si rozmyslet, co znamená integrál. Co představuje? Už jsme se o nich učili to, že jsou z opravdu malých obdélníčků. A my potom počítáme součet limitně… nekonečně mnoha úzkých obdélníčků. Ale když uvažujeme o Riemannově součtu, uvažujeme tak, že máme nějakou změnu x a potom ji vynásobíme v podstatě výškou, což je hodnota funkce v tom bodě. No tady byste mohli mít stejnou změnu x. Můžete mít úplně stejnou změnu x a jaká je tady tahle výška? No to bude přesně tahle výška. Viděli jste to, když jsme to vytvářeli. Tohle bude g od x v této hodnotě. Takže i když ty obdélníčky vypadají, jako by byly o něco posunuté a jsou vlastně protažené tím f od x… Výšky těchto obdélníčků, které tu kreslím, jsou přesně stejné jako výšky těch, které kreslím zde. Ještě jednou, všechny jsou zvýšené nebo snížené funkcí f od x. Ale tohle jsou úplně stejné obdélníčky. A mají přesně tu samou výšku. Když jich máte víc a víc tím, že jsou užší a užší, limita bude stejná jako ta, když máte víc a víc těchto, když je ztenčujete. Takže tahle plocha, a já zjevně nedělám exaktní důkaz, nabízím vám tu intuici za tím. Ta plocha je úplně stejná jako tahle. Takže plocha pod touto křivkou, tedy určitý integrál od a do b z funkce f od x plus g od x podle dx, je prostě součet těchto dvou určitých integrálů. A mohli byste říct: „No to je jasné.“ Anebo to není jasné, ale kdy je to vlastně užitečné? No, když se později naučíte vyčíslovat tyto integrály. Uvidíte, že jedním z nejsilnějších nástrojů je rozložit je tímto způsobem. Dobře, když dělám určitý integrál od nuly do jedné z x na druhou plus sinus x, což jste se zatím mohli, ale nemuseli, učit, můžete alespoň začít tím, že to rozložíte. Můžete říct dobře, tohle bude to samé, jako integrál od nuly do jedné z x na druhou podle dx plus integrál od nuly do jedné ze sinu x podle dx. A uvidíte, že tohle je jedno z nejsilnějších pravidel, když začnete řešit určité integrály nebo dokonce když se budete snažit pochopit, co představují.