Výpočet skalárního a vektorového součinu s jednotkovými vektory

Zatím, když jsme mluvili o skalárním a vektorovém součinu, zmínil jsem tuto definici: velikost krát kosinus nebo sinus úhlu mezi nimi. Ale co když tento vektor nemáte nakreslený? A co když není zadaný úhel mezi nimi? Jak spočítáte skalární a vektorový součin? No, napíšu vám definici z minula. Řekněme, že mám skalární součin „a tečka b“. To se rovná velikost a krát velikosti b krát kosinus úhlu mezi nimi. „a X b“ je rovno velikosti a krát velikost b krát sinus úhlu mezi nimi – tj. jejich kolmá projekce – krát normálový vektor, který je kolmý na oba. Jednotkový normálový vektor. Můžete zjistit, který z dvou kolmých vektorů to je pravidlem pravé ruky. Ale co když nemáme ty „théty“, tj. úhly mezi nimi? Co když vám například řeknu, že vektor a – napíšu to v „inženýrské notaci“. V inženýrské notaci v zásadě jen rozložíme vektor na jeho složky x, y, z. Takže řekněme, že vektor a je 5 i -- „i“ je jednotkový vektor ve směru osy x, minus 6 j plus 3 k. i, j a k jsou prostě jednotkové vektory podél směrů x, y, z. A 5 nám říká, jak velký je ve směru x. Minus 6 říká, jak velký je ve směru y. A 3 říká, jak velký je ve směru z. Můžete to zkusit nakreslit. A já teď opravdu hledám grafický nástroj, který by to zvládl, abych vám to ve videu ukázal, kvůli názornosti. Ale řekněme, že máme jen tohle. A řekněme, že b – já si ta čísla jen vymýšlím – řekněme, že je minus 2 i – a samozřejmě jsme ve třech dimenzích – plus 7 j plus 4 k. Můžete to nakreslit. Ale samozřejmě, pokud byste dostali nějakou úlohu a snažili se modelovat vektory v počítačové simulaci, dělali byste to takhle. Rozdělili byste si to na složky x, y a z ve smyslu sčítání. Musíte jen sečíst příslušné složky. Ale jak je navzájem vynásobíte, ať už skalárně nebo vektorově? Ukazuje se, – nebudu to dokazovat, jen ukážu, jak na to – že skalární součin je velmi jednoduchý v tomto zápisu. A vlastně další způsob zápisu je zápis pomocí závorek. Někdy to napíšete jako 5, minus 6, 3. Nebo jen velikosti ve směrech x, y, z. Chci se jen ujistit, že jste se sžili s různými zápisy. Můžete zapsat vektor b jako minus 2, 7, 4. Vždy jde o to samé. Neděste se, když vidíte různé zápisy. Ale stejně, jak tedy spočítám „a tečka b“? Tohle vám myslím bude připadat vcelku přijatelné. Vše, co musíte udělat, je vynásobit složky i, k tomu přidat vynásobené složky j a potom k tomu přidat vynásobené složky k. Takže to bude 5 krát minus 2 plus minus 6 krát 7 plus 3 krát 4, takže ve výsledku minus 10 minus 42 plus 12. Takže je to minus 52 plus 12, takže celkově minus 40. A je to. Je to prostě jen číslo. A vlastně bych to docela chtěl vidět nakreslené ve třech rozměrech – proč je to minus 40. Musí mířit opačnými směry. A jejich vzájemné projekce mají opačný směr. A proto dostaneme záporné číslo. Účel toho všeho – nechci jít moc do hloubky – je ukázat, jak se to počítá, není to těžké. Jen vynásobíte složky x, přičtete to k vynásobeným složkám y a pak přičtete vynásobené složky z. Takže kdykoli dostanu úlohu v inženýrském zápisu nebo závorkovém zápisu, a mám spočítat skalární produkt, je to až téměř uklidňující a ne moc náchylné k chybám. Ale, jak uvidíte, počítat vektorový součin těchto dvou vektorů a v tomto zápisu není tak jednoduché. A chci, abyste si pamatovali, že dalším způsobem, jak to dělat, je určit velikost každého vektoru a pak použít „fajnovou“ trigonometrii pro určení thét (úhlů) a využít tuto definici. Ale myslím, že už chápete, že dělat to takhle je mnohem jednodušší. Takže skalární součin je vcelku zábavný. Teď se podívejme, jestli zvládneme spočítat vektorový součin A znovu to nebudu dokazovat. Jen vám ukážu, jak na to. V nějakém budoucím videu – jsem si jistý, že mě o to někdo požádá – ten důkaz předvedu. Ale vektorový součin, to je něco náročnějšího. A nikdy se netěším na počítání vektorového součinu dvou vektorů v inženýrském zápisu a X b se rovná... Takže tady se používají matice. Spočítáme determinant. Nakreslím velkou čáru determinantu. Tohle je vlastně jen způsob, kterým si to lépe zapamatujete. Nedá vám to do toho příliš vhled, ale vhled je skrytý v samotné definici. Jak moc jsou vektory navzájem kolmé, vynásobíte velikosti, pravidlo pravé ruky vám udá směr, ve kterém směřuje. Ale způsob, jak to dělat, když používáte inženýrský zápis, napíšete na první řádek jednotkové vektory i, j, k. i, j, k Pak zapíšete první vektor ve vektorovém součinu, protože na pořadí záleží. Takže je to 5, minus 6, 3. Pak vezmete druhý vektor, který je b, který je minus 2, 7, 4. Takže vezmete determinant téhle matice 3 na 3. A jak to udělat? No, tohle je rovno subdeterminantu pro i. Takže subdeterminant pro i, zbavme se tohoto sloupce a tohoto řádku, determinant je to, co zbude, takže minus 6, 3, 7, 4 krát i – možná si budete chtít zopakovat determinanty, pokud si nepamatujete, jak na to, ale možná si to vybavíte, zatímco to teď budu řešit. A pamatujte, je to plus, minus, plus. Takže minus subdeterminant pro j. Co je subdeterminant pro j? Můžete přeškrtnout řádky a sloupce pro j. Máte 5, 3, minus 2, 4. Právě jsme vyškrtli řádek a sloupec pro j. A cokoli zbude, půjde o čísla subdeterminantu. Tak tomu říkám. j plus – chtěl to udělat vše na jedné řádce, protože by to bylo elegantnější – plus subdeterminant pro k. Vyškrtnu řádek a sloupec pro k. Zbude nám 5, minus 6, minus 2 a 7 krát k. A teď je vypočítejme. Udělám si tu nějaký prostor, napsal jsem to moc velkým písmem. Nemyslím, že tohle ještě budeme potřebovat. Tak co dostaneme? Pojďme se přesunout sem nahoru. Tyhle determinanty 2 na 2 jsou snadné. Tohle je minus 6 krát 4, minus 7 krát 3. Tady vždycky dělám hloupé chyby. Minus 24 minus 21 krát i minus 5 krát 4 je 20, minus minus 2 krát 3, tedy minus minus 6 j, plus 5 krát 7, 35 minus minus 2 krát minus 6. Takže je to minus plus 12 k. Můžeme to zjednodušit, takže dostaneme minus 24 minus 21. To je minus 35 (SPRÁVNĚ 45) – nemusel jsem to dávat do závorek – i a potom kolik je 20 minus minus 6? No, to je 20 plus 6, takže 26. A teď je tady minus. Takže minus 26 j. A tohle bylo 35 minus 12, to je 23. Plus 23 k. Tak tohle je vektorový součin. A pokud byste to zakreslili ve třech rozměrech, uvidíte – a to je to zajímavé – že vektor – pokud jsem to správně spočítal – minus 35 i (45 i), minus 26 j, plus 23 k, je kolmý na oba tyto vektory. Myslím, že tady už skončím a uvidíme se v dalším videu. A snad najdu nějaký program na vektorovou grafiku. Protože myslím, že to bude zábavné, počítat jak skalární součin, tak vektorový součin pomocí metod, které jsem vám právě ukázal, a zakreslit je, abych ukázal, že to funguje. Že tenhle vektor je opravdu kolmý na oba vektory a ukazuje ve směru, který byste předpověděli pravidlem pravé ruky. Uvidíme se v příštím videu.