Hlavní obsah

Kurz: Fyzika > Kapitola 3

Lekce 5: Nakloněné roviny a tření

Co jsou nakloněné roviny?

Povrchy většinou nejsou dokonale rovné. Podívejme se, jak se vypořádat se svahy!

Co jsou to nakloněné roviny?

Skluzavky v parku, strmé silnice a nakládací rampy - to vše jsou příklady nakloněných rovin. Nakloněné roviny jsou šikmé plochy, po kterých se tělesa mohou posunovat nebo valit nahoru nebo dolů.

Nakloněné roviny jsou praktické tím, že snižují velikosti sil potřebné k přemístění těles ve svislém směru. Počítají se mezi šestici základních jednoduchých strojů.

Jednoduché stroje jsou vynálezy poskytující mechanickou výhodu (tedy snižují sílu potřebnou k vykonání úkonu). Patří sem páka, kolo na hřídeli, kladka, nakloněná rovina, klín a šroub.

Jednoduché stroje jsou fajn, protože mohou snížit sílu nezbytnou k pohnutí tělesem. Například nákladní rampa (tedy nakloněná rovina) může snížit množství síly nezbytné ke zvednutí tělesa. To může znít až příliš dobře, ale je tu háček. Síla, kterou potřebuješ, sice poklesne, ale zvýší se vzdálenost, po kterou tou silou musíš působit.

Jak nakloněná rovina pracuje s Newtonovým druhým zákonem?

Ve většině případů řešíme úlohy pomocí Newtonova druhého zákona pro vodorovný a svislý směr zvlášť. U nakloněné roviny nás ale častěji zajímá pohyb s rovinou rovnoběžný, takže častěji řešíme Newtonův druhý zákon v rovnoběžném a kolmém směru k nakloněné ploše.

To znamená, že často budeme používat Newtonův druhý zákon ve směrech, z nichž jeden je k nakloněné rovině kolmý $⊥$ ‍ a druhý rovnoběžný $∥$ ‍.

a_{⊥} = \frac{Σ F_{⊥}}{m} a_{∥} = \frac{Σ F_{∥}}{m}

Protože se těleso často pohybuje rovnoběžně k povrchu roviny a nikoli kolmo k ní, můžeme téměř vždy předpokládat, že

a_{⊥} = 0

Jak určíme $⊥$ ‍ a $∥$ ‍ složky tíhové síly?

Protože budeme používat Newtonův druhý zákon pro směry kolmé a rovnoběžné k povrchu nakloněné roviny, budeme muset určit kolmou a vodorovnou složku tíhové síly.

Složky síly jsou znázorněny na diagramu níže. Dávej pozor, lidé si často pletou, jestli mají pro danou složku použít

sinus

nebo

kosinus

Lidé mají často s rozkladem tíhové síly na vodorovnou a svislou složku potíže, takže si to pojďme projít krok za krokem.

Všimni si, že tíhová síla $F_{g} = m g$ ‍ míří přímo dolů.

Tíhovou sílu můžeme rozložit na složky, které jsou vůči rovině rovnoběžné $F_{g ∥}$ ‍ a kolmé $F_{g ⊥}$ ‍.

Úhel nakloněné plošiny $ϕ$ ‍ vlevo nahoře je totožný s úhlem $ϕ$ ‍ mezi rovnoběžnou složkou tíhové síly $F_{g ∥}$ ‍ a celkovou tíhovou silou $m g$ ‍. Na tomto úhlu nám nesejde, jen nám v dalším kroku pomáhá určit úhel, který je pro nás důležitý.

Dva z úhlů plošiny (pravý úhel a $ϕ$ ‍) jsou shodné s úhly trojúhelníku tvořeného složkami tíhové síly. Poslední úhel mezi $m g$ ‍ a $F_{g ⊥}$ ‍ musí být shodný s úhlem plošiny vpravo dole $θ$ ‍, protože součet všech úhlů trojúhelníka je $180^{o}$ ‍ (tedy mají-li dva trojúhelníky shodné dva úhly, musejí mít shodný i třetí úhel).

Teď když známe úhel mezi $m g$ ‍ a $F_{g ⊥}$ ‍, můžeme použít definici $sinu$ ‍ a získat

sin θ = \frac{protilehlá odvěsna}{přepona} = \frac{F_{g ∥}}{m g}

Vyjádřením

F_{g ∥}

získáme

F_{g ∥} = m g sin θ

Podobně z definice

kosinu

získáme

cos θ = \frac{přilehlá odvěsna}{přepona} = \frac{F_{g ⊥}}{m g}

Vyjádřením

F_{g ⊥}

získáme

F_{g ⊥} = m g cos θ

Jaká je u tělesa na nakloněné rovině normálová síla $F_{N}$ ‍?

Normálová síla

F_{N}

je vždy kolmá k povrchu, který silou působí. Nakloněná rovina bude působit normálovou silou kolmou k její ploše.

Neexistuje-li zrychlení ve směru kolmém k povrchu nakloněné roviny, síly působící na těleso musejí být v kolmém směru vyvážené. Pohled na síly níže nám napoví, že normálová síla musí vyrovnat kolmou složku tíhové síly, aby celková síla v kolmém směru byla ve výsledku nulová.

Jinak řečeno, pro těleso ležící na nakloněné rovině platí

F_{N} = m g cos θ

Ve směru kolmém k povrchu nakloněné roviny můžeme uplatnit Newtonův druhý zákon a získat

a_{⊥} = \frac{Σ F_{⊥}}{m} (použijeme Newtonův druhý zákon v kolmém směru)

0 = \frac{Σ F_{⊥}}{m} (a_{⊥} je rovno 0, protože se těleso kolmo k rovině nepohybuje)

0 = \frac{F_{N} - m g cos θ}{m} (dosadíme F_{N} a kolmou složku F_{g})

0 = F_{N} - m g cos θ (vynásobíme obě strany m)

F_{N} = m g cos θ (vyjádříme F_{N})

Normálová síla na nakloněné rovině je tedy rovna

m g cos θ

(za předpokladu, že se tu nenacházejí žádné jiné kolmé síly).

Jak vypadají řešené příklady s nakloněnou rovinou?

Příklad 1: Sáňkování

Dítě jede na sáňkách ze svahu. Kopec svírá s vodorovnou rovinou úhel

θ = 30^{o}

a součinitel smykového tření mezi sáňkami a sněhem je

μ_{k} = 0,150

. Celková hmotnost dítěte a sáněk je

65, 0 kg

Jaké je zrychlení sáněk při jízdě z kopce?

Začneme silovým diagramem.

Ve směru rovnoběžném s nakloněnou rovinou použijeme Newtonův druhý zákon a získáme

a_{∥} = \frac{Σ F_{∥}}{m} (použijeme Newtonův druhý zákon v rovnoběžném směru)

a_{∥} = \frac{m g sin θ - F_{k}}{m} (dosadíme rovnoběžné síly)

a_{∥} = \frac{m g sin θ - μ_{k} F_{N}}{m} (dosadíme vzoreček pro smykové tření)

a_{∥} = \frac{m g sin θ - μ_{k} (m g cos θ)}{m} (dosadíme m g cos θ za normálovou sílu F_{N})

a_{∥} = \frac{m g sin θ - μ_{k} (m g cos θ)}{m} (pokrátíme hmotnosti v čitateli a jmenovateli)

a_{∥} = g sin θ - μ_{k} (g cos θ) (užijeme si úžas nad tím, že zrychlení nezávisí na hmotnosti)

a_{∥} = (9, 8 \frac{m}{s^{2}}) sin(30^{o}) - (0,150) (9, 8 \frac{m}{s^{2}}) cos (30^{o}) (dosadíme číselné hodnoty)

a_{∥} = 3, 63 \frac{m}{s^{2}} (vyčíslíme a oslavíme)

Příklad 2: Příkrá příjezdová cesta

Člověk stavící dům přemýšlí, jak příkrou může postavit příjezdovou cestu, aby se na ní ještě dalo zaparkovat auto. Ví, že součinitel smykového tření mezi pneumatikami a betonem je

0, 75

Jaký maximální úhel může příjezdová cesta svírat s vodorovným směrem, aby se na ní auto ještě udrželo?

Začneme Newtonovým pohybovým zákonem v rovnoběžném směru.

a_{∥} = \frac{Σ F_{∥}}{m} (použijeme Newtonův druhý zákon v rovnoběžném směru)

a_{∥} = \frac{m g sin θ - F_{s}}{m} (dosadíme rovnoběžné síly tíhy a klidového tření)

0 = \frac{m g sin θ - F_{s}}{m} (auto neklouže, takže zrychlení je 0)

0 = m g sin θ - F_{s} (vynásobíme obě strany m)

0 = m g sin θ - F_{s max} (předpokládáme, že F_{s} se rovná své maximální hodnotě F_{s max})

Klidová třecí síla se zvyšuje zároveň s rostoucí výškou příjezdové cesty. Protože chceme určit maximální úhel, pod kterým můžeme cestu postavit, aniž by po ní auto podkluzovalo, budeme předpokládat, že jsme dosáhli maximálního úhlu, kde klidová třecí síla při dané normálové síle a součiniteli klidového tření auto ještě udrží.

To je nezbytné, abychom za klidovou třecí sílu mohli dosadit

F_{s max} = μ_{s} F_{N}

0 = m g sin θ - μ_{s} F_{N} (dosadíme vzoreček maximální klidové třecí síly)

0 = m g sin θ - μ_{s} (m g cos θ) (dosadíme vzoreček normálové síly na nakloněné rovině)

0 = m g sin θ - μ_{s} (m g cos θ) (vydělíme obě strany m g)

0 = sin θ - μ_{s} (cos θ) (užijeme si úžas nad tím, že úhel nezáleží na hmotnosti)

sin θ = μ_{s} (cos θ) (vyjádříme sin θ)

\frac{sin θ}{cos θ} = μ_{s} (vydělíme obě strany cos θ)

tan θ = μ_{s} (nahradíme \frac{sin θ}{cos θ} výrazem tan θ)

θ = t a n^{- 1} (μ_{s}) (provedeme na obou stranách inverzní tangens)

θ = t a n^{- 1} (0, 75) (dosadíme číselné hodnoty)

θ = 37^{o} (vyčíslíme a oslavíme)

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Fyzika

Kurz: Fyzika > Kapitola 3

Co jsou to nakloněné roviny?

Jak nakloněná rovina pracuje s Newtonovým druhým zákonem?

Jak určíme ⊥‍ a ∥‍ složky tíhové síly?

Jaká je u tělesa na nakloněné rovině normálová síla FN‍ ?

Jak vypadají řešené příklady s nakloněnou rovinou?

Příklad 1: Sáňkování

Příklad 2: Příkrá příjezdová cesta

Chceš se zapojit do diskuze?

Jak určíme $⊥$ ‍ a $∥$ ‍ složky tíhové síly?

Jaká je u tělesa na nakloněné rovině normálová síla $F_{N}$ ‍?