Hlavní obsah

Kurz: AP®︎ Fyzika 2 > Kapitola 2

Lekce 1: Temperature, kinetic theory, and the ideal gas law

Co to je Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení?

V plynu je ze všech skupenství největší tepelný pohyb částic. Tyto částice se pohybují různou rychlostí. My si zde ukážeme, jakým způsobem se o tom dá přemýšlet.

Co to je Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení?

Molekuly vzduchu se kolem nás nepohybují všechny stejnou rychlostí, a to i přesto, že říkáme, že vzduch má v daném okamžiku jednu určitou hodnotu teploty. Některé molekuly vzduchu se budou pohybovat extrémně rychle, některé se budou pohybovat pomaleji a některé molekuly vzduchu se sotva pohnou. Z toho důvodu není úplně vhodné klást otázky jako je "Jaká je rychlost molekuly vzduchu v plynu?" vzhledem k tomu, že molekula v plynném skupenství může mít téměř jakoukoliv rychlost.

Takže místo abychom se ptali na konkrétní molekulu plynu, pokládáme otázky jako: "Jaká je distribuce rychlosti u molekul plynu při určité teplotě? V druhé polovině 19. století přišli James Clerk Maxwell a Ludwig Boltzmann na odpověď na tuto otázku. Jejich zjištění bývá označováno jako Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení , protože ukazuje, jak jsou rozděleny rychlosti molekul pro ideální plyn. Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení bývá často znázorněno následujícím grafem.

Osa y na grafu Maxwellova-Boltzmannova rozdělení nám může odhalit počet molekul, které mají danou rychlost. Čím je tedy y-ová hodnota vyšší, tím více molekul se pohybuje rychlostí danou x-ovou souřadnicí.

Ano, máš pravdu. Počet molekul, které se budou pohybovat rychlostí právě

231,461 91432032804 \frac{m}{s}

se velmi blíží k nule, šance, že molekula bude mít přesně nějakou hodnotu rychlosti je velmi malá. Právě proto si asi myslíš, že "počet molekul" na y ose musí být pro danou x-ovou hodnotu nulový.

Na tuhle záležitost ale používáme vychytávku, kdy si x-ovou osu rozdělíme na "úseky" o šířce

Δ v = 1 \frac{m}{s}

, takže vlastně vždy sbíráme molekuly, které mají rychlost mezi

v

v + 1 \frac{m}{s}

. Díky tomu pak máme nenulové hodnoty počtu molekul. K získání požadované přesnosti si však šířku úseků můžeme upravit.

Když už o tom hovoříme, je možné se tomuto zcela vyhnout tím, že na svislou osu vyneseme něco, čemu se říká hustota pravděpodobnosti místo použití počtu molekul. Hustota pravděpodobnosti udává pravděpodobnost vztaženou na jednotku rychlosti, že naleznou částici s rychlostí blízkou

v

Všimni si, že graf není symetrický. V oblasti vyšších rychlostí je graf poněkud delší a pokračuje dál až k extrémně velkým rychlostem. Vlevo však graf musí končit v nule (protože molekula nemůže mít rychlost menší než nula).

Skutečná matematická rovnice pro Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení je poněkud zastrašující a na této úrovni poznání se obejdeme bez ní.

Dobře, tady máš rovnici pro Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení.

f (v) = \sqrt{[\frac{m}{2 π k T}]^{3}} 4 π v^{2} e^{(- \frac{m v^{2}}{2 k T})}

Veličina

f (v)

udává hustotu pravděpodobnosti v závislosti na

v

. Tato rovnice vyjadřuje vztah mezi hustotou pravděpodobnosti, teplotou

T

plynu, hmotností

m

molekul a Boltzmannovou konstantou

k

. Hustota pravděpodobnosti je druhou možností, co lze vynést na y-ovou osu, po počtu molekul. Hustota pravděpodobnosti je pravděpodobnost vztažená na jednotku rychlosti toho, že se v systému nachází molekula s rychlostí blízkou

v

Tuto matematickou rovnici není nutné úplně chápat, abys pochopil/a hlavní myšlenku Maxwellova-Boltzmannova rozdělení. Takže se nestrachuj, pokud ti výše uvedená rovnice připadá spíš jako nějaká zlá matematická čarodějnice.

Co je střední kvadratická hodnota rychlosti?

Možná si myslíš, že rychlost odpovídající maximu grafu Maxwellova-Boltzmannova rozdělení je průměrná rychlost molekuly v plynu, ale není tomu tak. Rychlost umístěná přímo v maximu je

nejpravděpodobnější rychlost v_{p}

. Znamená to, že když náhodně vybereme molekulu daného plynu, bude mít s největší pravděpodobností tuto rychlost.

Průměrná rychlost v_{p r ů m}

molekul v plynu se ve skutečnosti nachází na křivce napravo od maxima. Důvodem toho je, že pravá část "kopce" křivky Maxwellova-Boltzmannova rozdělení od maxima je delší než levá. Tato delší část posouvá průměrnou hodnotu doprava.

Další užitečná veličina je známá jako

střední kvadratická rychlost v_{k}

. Tato veličina je zajímavá, protože její definice je skryta v samotném názvu. Střední kvadratická rychlost je druhá odmocnina střední hodnoty součtu druhých mocnin rychlostí. Střední hodnota v tomto případě značí průměr. Matematické vyjádření vypadá následovně

v_{k} = \sqrt{\frac{1}{N} (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} + …)}

Může se zdát, že tento způsob hledání průměrné hodnoty je zbytečně složitá, protože jsme nejdříve všechny rychlosti umocnili a později zase vše odmocnili. Mohli bychom si říct „Proč nestačí průměrná rychlost?" Nezapomeň však na to, že rychlost je vektorová veličina a má tedy směr. Průměrná rychlost molekul plynu je nulová, protože existuje stejný počet molekul plynu směřujících doprava (+ rychlost) jako doleva (- rychlost). To je důvod, proč na rychlosti umocňujeme na druhou, tím jsou všechny kladné. Takže tato střední hodnota (tj. průměrná hodnota) nemůže být nulová. Fyzici často tento trik používají k nalezení průměrných hodnot veličin, které mohou nabývat kladné a záporné hodnoty (např. u napětí a proudu v obvodech se střídavým proudem).

Střední kvadratická rychlost je užitečná právě proto, že kinetická energie je kvadraticky závislá na rychlosti (

E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}

). Ke zjištění průměrné kinetické energie

E_{k, p r ů m}

, se nám tedy hodí vzít součet druhých mocnin rychlostí jednotlivých molekul.

E_{k, p r ů m} = \frac{1}{N} (K_{1} + K_{2} + K_{3} + …)

E_{k, p r ů m} = \frac{1}{N} (\frac{1}{2} m v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + \frac{1}{2} m v_{3}^{2} + …)

E_{k, p r ů m} = \frac{1}{2} m [\frac{1}{N} (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} + …)]

E_{k, p r ů m} = \frac{1}{2} m v_{k}^{2}

Průměrná kinetická energie molekul plynu je tedy úměrná střední kvadratické rychlosti. Možná se zdá zvláštní, že průměrná kinetická energie je úměrná této střední kvadratické rychlosti namísto průměrné rychlosti. Abychom však zjistili průměrnou kinetickou energii, musíme nejdříve umocňovat a pak určit průměr a ne naopak nejdříve průměrovat a pak umocňovat.

Je třeba poznamenat, že všechny tyto tři veličiny (

v_{p}

v_{p r ů m}

v_{k}

mají poměrně vysoké hodnoty, dokonce i pro plyn při pokojové teplotě. Například plynný neon má při pokojové teplotě (

293 K

) hodnoty nejpravděpodobnější rychlosti, průměrné rychlosti a střední kvadratické rychlosti:

v_{p} = 491 \frac{m}{s}

(nebo také

1100 \frac{mi}{h})

v_{p r ů m} = 554 \frac{m}{s}

(nebo také

1240 \frac{mi}{h})

v_{k} = 602 \frac{m}{s}

(or

1350 \frac{mi}{hr})

Co představuje plocha pod křivkou Maxwellova-Boltzmannova rozdělení?

Osa y Maxwellova-Boltzmannova rozdělení udává počet molekul vztažený na jednotku rychlosti. Obsah plochy pod celou křivkou se rovná celkovému počtu molekul v plynu.

Zahřejeme-li plyn na vyšší teplotu, maximum na grafu se přesune doprava (protože se zvýší průměrná rychlost molekul). Když se graf posouvá doprava, jeho výška musí klesat, aby se pod křivkou udržela stejně velká celková plocha. Analogicky se maximum grafu posune doleva, pokud budeme teplotu snižovat. Když se graf posouvá doleva, musí se jeho výška zvětšit, aby se pod křivkou udržela stejně velká plocha. To lze vidět na níže znázorněných křivkách, které představují vzorek plynu (s konstantním množstvím molekul) při různých teplotách.

Jak se plyn ochladí, graf se ještě více zúží a zvýší. Stejně tak bude graf čím dál nižší a širší, když se plyn zahřeje. Je nutné, aby velikost plochy pod křivkou (tzn. celkový počet molekul) zůstala konstantní.

Pokud by do vzorku byly přidány další molekuly, celková plocha pod křivkou by se zvýšila. Podobně pokud by molekuly byly ze vzorku odebrány, celková plocha pod křivkou by se snížila.

Jak vypadají řešené příklady na Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení?

Příklad 1: Chlazení plynu

Plynný dusík, jež je tvořen z dvouatomových molekul, je v uzavřené nádobě. Tuto nádobu ponoříme do ledové lázně dokud se teploty nevyrovnají.

Co se stane s následujícími veličinami když se plyn ochlazuje? (zvol dvě správné veličiny)

(Možnost A)
Střední kvadratická rychlost molekul plynu se zvyšuje
(Možnost B)
Graf závislosti počtu molekul na rychlost se zúží
(Možnost C)
Průměrná rychlost molekul plynu se zvyšuje
(Možnost D)
Maximum na grafu závislosti počtu molekul na rychlosti je nižší

Jak se plyn ochlazuje, průměrná rychlost molekul se snižuje, jelikož ve studenějším plynu se molekuly pohybují pomaleji.

Rovněž graf závislosti počtu molekul na rychlosti se zúží, když se plyn ochlazuje. Vzhledem k tomu, že se počet molekul v uzavřené nádobě nemění, bude i obsah plochy pod křivkou konstantní. Když se maximum grafu posune doleva, zvýší se výška píku tak, aby byla zachována stejná celková plocha pod křivkou, tím se křivka zúží.

Příklad 2: Změna v plynu

Plyn má následovné rozdělení rychlostí:

Která z následujících následných změn by mohla způsobit změnu grafu z křivky 1 na křivku 2, jak je znázorněno níže?

(Možnost A)
Molekuly horkého plynu mohou být vloženy do rovnováhy s molekulami plynu na počátku počátečním plynem.
(Možnost B)
Molekuly plynu mohou být odebrány a zbylý vzorek je v uzavřené nádobě zahřát.
(Možnost C)
Molekuly plynu mohou být ze vzorku odebírány a zbylý vzorek je v uzavřené nádobě ochlazen.
(Možnost D)
Molekuly nemohou být dodány ani odebrány, plyn je jen ochlazen v uzavřené nádobě.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.