If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Výrazy

Kurz: Výrazy > Kapitola 5

Lekce 6: Rozklad kvadratických výrazů na součin: rozdíl druhých mocnin
Matematika
Výrazy
Kvadratické výrazy
Rozklad kvadratických výrazů na součin: rozdíl druhých mocnin
© 2023 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Rozklad kvadratických výrazů na součin: rozdíl druhých mocnin

Učebna Google
Nauč se, jak rozložit kvadratické výrazy, které jsou ve tvaru "rozdílu druhých mocnin". Například rozlož x²-16 na součin (x+4)(x-4).
Rozložit mnohočlen na součin znamená rozepsat ho jako součin dvou či více mnohočlenů. Jde o opak násobení mnohočlenů.
V tomto článku se naučíš, jak použít vzorec pro rozdíl druhých mocnin k rozložení některých mnohočlenů na součin. Pokud tento vzorec neznáš, podívej se prosím předtím, než budeš pokračovat ve čtení, na naše video.

Úvod: Vzorec pro rozdíl druhých mocnin

Každý mnohočlen, který je rozdílem dvou druhých mocnin, lze rozložit na součin použitím následujícího vzorce:
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
Povšimni si, že a a b v tomto vzorci mohou být libovolné algebraické výrazy. Například pro a, equals, x a b, equals, 2 dostaneme:
x2−22=(x+2)(x−2)\begin{aligned}\blueD{x}^2-\greenD{2}^2=(\blueD x+\greenD 2)(\blueD x-\greenD 2)\end{aligned}
Mnohočlen x, squared, minus, 4 je nyní rozložen na součin jako left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis. Pravou stranu této rovnosti si můžeme roznásobit a ověřit si tak správnost našeho rozkladu:
(x+2)(x−2)=x(x−2)+2(x−2)=x2−2x+2x−4=x2−4\begin{aligned}(x+2)(x-2)&=x(x-2)+2(x-2)\\\\&=x^2-2x+2x-4\\ \\ &=x^2-4\end{aligned}
Když už tomuto vzorci rozumíme, využijeme ho k rozkladu pár dalších mnohočlenů.

Příklad 1: Rozklad x, squared, minus, 16 na součin.

x, squared i 16 jsou druhé mocniny, protože x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared a 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Jinými slovy:
x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Protože odečítáme dvě druhé mocniny, vidíme, že tento mnohočlen je rozdílem druhých mocnin. K rozkladu tohoto výrazu na součin tak můžeme použít vzorec pro rozdíl druhých mocnin:
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
V našem případě start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd a start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Rozklad našeho mnohočlenu na součin tak vypadá následovně:
left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, minus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis
Výsledek si můžeme ověřit tak, že se tento součin po roznásobení rovná x, squared, minus, 16.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

1) Rozlož x, squared, minus, 25 na součin.
Vyber 1 odpověď:

2) Rozlož x, squared, minus, 100 na součin.

Kontrolní otázka

3) Lze vzorec pro rozdíl druhých mocnin použít k rozkladu x, squared, plus, 25 na součin?
Vyber 1 odpověď:

Příklad 2: Rozklad 4, x, squared, minus, 9 na součin.

Abychom mohli použít vzorec pro rozdíl druhých mocnin, vedoucí koeficient se nemusí vždy rovnat 1. Ve skutečnosti ho můžeme použít i v tomto příkladu!
Je to proto, že 4, x, squared i 9 jsou druhé mocniny, protože 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared a 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Toho využijeme a k rozložení zadaného mnohočlenu na součin použijeme vzorec pro rozdíl druhých mocnin:
4x2−9=(2x)2−(3)2=(2x+3)(2x−3)\begin{aligned}4x^2-9 &=(\blueD {2x})^2-(\greenD{3})^2\\ \\ &=(\blueD {2x}+\greenD 3)(\blueD {2x}-\greenD 3) \end{aligned}
Rychlým vynásobením si můžeme ověřit správnost našeho výpočtu.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

4) Rozlož 25, x, squared, minus, 4 na součin.
Vyber 1 odpověď:

5) Rozlož 64, x, squared, minus, 81 na součin.

6) Rozlož 36, x, squared, minus, 1 na součin.

Těžší příklady

7*) Rozlož x, start superscript, 4, end superscript, minus, 9 na součin.

8*) Rozlož 4, x, squared, minus, 49, y, squared na součin.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.