Hlavní obsah

Kurz: Výrazy > Kapitola 5

Lekce 6: Rozklad kvadratických výrazů na součin: rozdíl druhých mocnin

Rozklad kvadratických výrazů na součin: rozdíl druhých mocnin

Nauč se, jak rozložit kvadratické výrazy, které jsou ve tvaru "rozdílu druhých mocnin". Například rozlož x²-16 na součin (x+4)(x-4).

Rozložit mnohočlen na součin znamená rozepsat ho jako součin dvou či více mnohočlenů. Jde o opak násobení mnohočlenů.

V tomto článku se naučíš, jak použít vzorec pro rozdíl druhých mocnin k rozložení některých mnohočlenů na součin. Pokud tento vzorec neznáš, podívej se prosím předtím, než budeš pokračovat ve čtení, na naše video.

Úvod: Vzorec pro rozdíl druhých mocnin

Každý mnohočlen, který je rozdílem dvou druhých mocnin, lze rozložit na součin použitím následujícího vzorce:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Povšimni si, že

a

b

v tomto vzorci mohou být libovolné algebraické výrazy. Například pro

a = x

b = 2

dostaneme:

\begin{array}{r} x^{2} - 2^{2} = (x + 2) (x - 2) \end{array}

Mnohočlen

x^{2} - 4

je nyní rozložen na součin jako

(x + 2) (x - 2)

. Pravou stranu této rovnosti si můžeme roznásobit a ověřit si tak správnost našeho rozkladu:

\begin{aligned} (x + 2) (x - 2) & = x (x - 2) + 2 (x - 2) \\ = x^{2} - 2 x + 2 x - 4 \\ = x^{2} - 4 \end{aligned}

Když už tomuto vzorci rozumíme, využijeme ho k rozkladu pár dalších mnohočlenů.

Příklad 1: Rozklad $x^{2} - 16$ ‍ na součin.

x^{2}

16

jsou druhé mocniny, protože

x^{2} = (x)^{2}

16 = (4)^{2}

. Jinými slovy:

x^{2} - 16 = (x)^{2} - (4)^{2}

Protože odečítáme dvě druhé mocniny, vidíme, že tento mnohočlen je rozdílem druhých mocnin. K rozkladu tohoto výrazu na součin tak můžeme použít vzorec pro rozdíl druhých mocnin:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

V našem případě

a = x

b = 4

. Rozklad našeho mnohočlenu na součin tak vypadá následovně:

(x)^{2} - (4)^{2} = (x + 4) (x - 4)

Výsledek si můžeme ověřit tak, že se tento součin po roznásobení rovná

x^{2} - 16

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

1) Rozlož $x^{2} - 25$ ‍ na součin.

2) Rozlož $x^{2} - 100$ ‍ na součin.

Kontrolní otázka

3) Lze vzorec pro rozdíl druhých mocnin použít k rozkladu $x^{2} + 25$ ‍ na součin?

Příklad 2: Rozklad $4 x^{2} - 9$ ‍ na součin.

Abychom mohli použít vzorec pro rozdíl druhých mocnin, vedoucí koeficient se nemusí vždy rovnat

1

. Ve skutečnosti ho můžeme použít i v tomto příkladu!

Je to proto, že

4 x^{2}

9

jsou druhé mocniny, protože

4 x^{2} = (2 x)^{2}

9 = (3)^{2}

. Toho využijeme a k rozložení zadaného mnohočlenu na součin použijeme vzorec pro rozdíl druhých mocnin:

\begin{aligned} 4 x^{2} - 9 & = (2 x)^{2} - (3)^{2} \\ = (2 x + 3) (2 x - 3) \end{aligned}

Rychlým vynásobením si můžeme ověřit správnost našeho výpočtu.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

4) Rozlož $25 x^{2} - 4$ ‍ na součin.

5) Rozlož $64 x^{2} - 81$ ‍ na součin.

6) Rozlož $36 x^{2} - 1$ ‍ na součin.

Těžší příklady

7*) Rozlož $x^{4} - 9$ ‍ na součin.

x^{4}

9

jsou druhé mocniny, protože

x^{4} = (x^{2})^{2}

9 = (3)^{2}

. Protože členy odečítáme, k rozkladu našeho mnohočlenu na součin můžeme použít vzorec pro rozdíl druhých mocnin.

\begin{aligned} x^{4} - 9 & = (x^{2})^{2} - (3)^{2} \\ = (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) \end{aligned}

Všimni si, že vzorec pro rozdíl druhých mocnin lze použít i k rozkladu mnohočlenů, které nejsou kvadratické. Pokud lze mnohočlen rozepsat jako rozdíl dvou druhých mocnin, tento vzorec jde vždy použít!

8*) Rozlož $4 x^{2} - 49 y^{2}$ ‍ na součin.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Výrazy

Kurz: Výrazy > Kapitola 5

Úvod: Vzorec pro rozdíl druhých mocnin

Příklad 1: Rozklad x2−16‍ na součin.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

Kontrolní otázka

Příklad 2: Rozklad 4x2−9‍ na součin.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

Těžší příklady

Chceš se zapojit do diskuze?

Příklad 1: Rozklad $x^{2} - 16$ ‍ na součin.

Příklad 2: Rozklad $4 x^{2} - 9$ ‍ na součin.