Hlavní obsah

Kurz: Trigonometrie > Kapitola 2

Lekce 3: Řešení obecného trojúhelníku

Opakování sinové a kosinové věty

Opakování sinové a kosinové věty a jejich použití k řešení příkladů s libovolným trojúhelníkem.

Sinová věta

\frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)} = \frac{c}{\sin (γ)}

Kosinová věta

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (γ)

Chceš se dozvědět více o sinové větě? Podívej se na toto video.
Chceš se dozvědět více o kosinové větě? Podívej se na toto video.

Typ 1: Řešení trojúhelníků podle sinové věty

Toto pravidlo je užitečné pro zjištění neznámého úhlu, pokud máme zadaný úhel a dvě strany. Nebo ke zjištění délky neznámé strany, pokud známe dva úhly a jednu stranu.

Příklad 1: Zjištění neznámé strany

Pojďme zjistit délku strany

A C

v následujícím trojúhelníku:

Řešení podle sinové věty,

\frac{A B}{\sin (∠ C)} = \frac{A C}{\sin (∠ B)}

. Nyní můžeme dosadit hodnoty a příklad vyřešit:

\begin{aligned} \frac{A B}{\sin (∠ C)} & = \frac{A C}{\sin (∠ B)} \\ \frac{5}{\sin (33^{\circ})} & = \frac{A C}{\sin (67^{\circ})} \\ \frac{5 \sin (67^{\circ})}{\sin (33^{\circ})} & = A C \\ 8, 45 & \approx A C \end{aligned}

Příklad 2: Zjištění neznámého úhlu

Pojďme zjistit velikost úhlu

∠ A

v následujícím trojúhelníku:

Řešení podle sinové věty,

\frac{B C}{\sin (∠ A)} = \frac{A B}{\sin (∠ C)}

. Nyní můžeme dosadit hodnoty a příklad vyřešit:

\begin{aligned} \frac{B C}{\sin (∠ A)} & = \frac{A B}{\sin (∠ C)} \\ \frac{11}{\sin (∠ A)} & = \frac{5}{\sin (25^{\circ})} \\ 11 \sin (25^{\circ}) & = 5 \sin (∠ A) \\ \frac{11 \sin (25^{\circ})}{5} & = \sin (∠ A) \end{aligned}

Nyní vypočteme pomocí kalkulačky a zaokrouhlíme:

∠ A = \sin^{- 1} (\frac{11 \sin (25^{\circ})}{5}) \approx 68, 4^{\circ}

Pamatuj, že neznámý úhel je tupý, musíme vzít

180^{\circ}

a odečíst výsledek, který jsme zjistili kalkulačkou.

Příklad 1.1

B C =

Zaokrouhli na desetiny.

Chceš řešit další podobné příklady? Podívej se na toto cvičení.

Typ 2: Řešení trojúhelníků podle kosinové věty

Toto pravidlo je užitečné pro zjištění velikosti úhlu, pokud známe všechny délky stran. Nebo také pro zjištění neznámé strany, pokud známe další dvě strany a velikost úhlu.

Příklad 1: Zjištění neznámého úhlu

Pojďme zjistit velikost úhlu

∠ B

v následujícím trojúhelníku:

Podle kosinové věty:

(A C)^{2} = (A B)^{2} + (B C)^{2} - 2 (A B) (B C) \cos (∠ B)

Nyní dosadíme hodnoty a vyřešíme:

\begin{aligned} (5)^{2} & = (10)^{2} + (6)^{2} - 2 (10) (6) \cos (∠ B) \\ 25 & = 100 + 36 - 120 \cos (∠ B) \\ 120 \cos (∠ B) & = 111 \\ \cos (∠ B) & = \frac{111}{120} \end{aligned}

Nyní vypočteme pomocí kalkulačky a zaokrouhlíme:

m ∠ B = \cos^{- 1} (\frac{111}{120}) \approx 22, 33^{\circ}

Příklad 2: Zjištění neznámé strany

Pojďme zjistit délku strany

A B

v následujícím trojúhelníku:

Podle kosinové věty:

(A B)^{2} = (A C)^{2} + (B C)^{2} - 2 (A C) (B C) \cos (∠ C)

Nyní dosadíme hodnoty a vyřešíme:

\begin{aligned} (A B)^{2} & = (5)^{2} + (16)^{2} - 2 (5) (16) \cos (61^{\circ}) \\ (A B)^{2} & = 25 + 256 - 160 \cos (61^{\circ}) \\ A B & = \sqrt{281 - 160 \cos (61^{\circ})} \\ A B & \approx 14, 3 \end{aligned}

Příklad 2.1

∠ A =

^{\circ}

Zaokrouhli na nejbližší stupeň.

Chceš více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.

Typ 3: Pravoúhlý trojúhelník a slovní úlohy

Příklad 3.1

"Zbývá jen jeden." Signalizuje Roman svému bratrovi z úkrytu.

Matyáš souhlasí, také vidí posledního zlého robota.

34

stupňů." Matyáš signalizuje nazpět, informuje bratra o úhlu, pod kterým vidí Romana a robota.

Roman si zaznamená tento údaj do svého náčrtku (ukázáno dole) a provede výpočet. Zamíří svou laserovou zbraň správným směrem, zaměří a vystřelí.

Do jaké vzdálenosti vystřelí laserová zbraň?
Nezaokrouhluj během výpočtů. Zaokrouhli až finální výsledek na celé metry.

m

Chceš více podobných úloh? Podívej se na toto cvičení.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.