If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Trigonometrie

Kurz: Trigonometrie > Kapitola 2

Lekce 3: Řešení obecného trojúhelníku
Matematika
Trigonometrie
Trigonometrie s obecnými trojúhelníky
Řešení obecného trojúhelníku
© 2023 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Opakování sinové a kosinové věty

Učebna Google
Opakování sinové a kosinové věty a jejich použití k řešení příkladů s libovolným trojúhelníkem.

Sinová věta

start fraction, a, divided by, sine, left parenthesis, alpha, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, b, divided by, sine, left parenthesis, beta, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, c, divided by, sine, left parenthesis, gamma, right parenthesis, end fraction

Kosinová věta

c, squared, equals, a, squared, plus, b, squared, minus, 2, a, b, cosine, left parenthesis, gamma, right parenthesis
Chceš se dozvědět více o sinové větě? Podívej se na toto video.
Chceš se dozvědět více o kosinové větě? Podívej se na toto video.

Typ 1: Řešení trojúhelníků podle sinové věty

Toto pravidlo je užitečné pro zjištění neznámého úhlu, pokud máme zadaný úhel a dvě strany. Nebo ke zjištění délky neznámé strany, pokud známe dva úhly a jednu stranu.

Příklad 1: Zjištění neznámé strany

Pojďme zjistit délku strany A, C v následujícím trojúhelníku:
Řešení podle sinové věty, start fraction, A, B, divided by, sine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, A, C, divided by, sine, left parenthesis, angle, B, right parenthesis, end fraction. Nyní můžeme dosadit hodnoty a příklad vyřešit:
ABsin⁡(∠C)=ACsin⁡(∠B)5sin⁡(33∘)=ACsin⁡(67∘)5sin⁡(67∘)sin⁡(33∘)=AC8,45≈AC\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin(\angle C)}&=\dfrac{AC}{\sin(\angle B)} \\\\ \dfrac{5}{\sin(33^\circ)}&=\dfrac{AC}{\sin(67^\circ)}\\\\ \dfrac{5\sin(67^\circ)}{\sin(33^\circ)}&=AC \\\\ 8{,}45&\approx AC \end{aligned}

Příklad 2: Zjištění neznámého úhlu

Pojďme zjistit velikost úhlu angle, A v následujícím trojúhelníku:
Řešení podle sinové věty, start fraction, B, C, divided by, sine, left parenthesis, angle, A, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, A, B, divided by, sine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis, end fraction. Nyní můžeme dosadit hodnoty a příklad vyřešit:
BCsin⁡(∠A)=ABsin⁡(∠C)11sin⁡(∠A)=5sin⁡(25∘)11sin⁡(25∘)=5sin⁡(∠A)11sin⁡(25∘)5=sin⁡(∠A)\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin(\angle A)}&=\dfrac{AB}{\sin(\angle C)} \\\\ \dfrac{11}{\sin(\angle A)}&=\dfrac{5}{\sin(25^\circ)} \\\\ 11\sin(25^\circ)&=5\sin(\angle A) \\\\ \dfrac{11\sin(25^\circ)}{5}&=\sin(\angle A) \end{aligned}
Nyní vypočteme pomocí kalkulačky a zaokrouhlíme:
angle, A, equals, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 11, sine, left parenthesis, 25, degrees, right parenthesis, divided by, 5, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 68, comma, 4, degrees
Pamatuj, že neznámý úhel je tupý, musíme vzít 180, degrees a odečíst výsledek, který jsme zjistili kalkulačkou.
Příklad 1.1
  • Současný
B, C, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Zaokrouhli na desetiny.

Chceš řešit další podobné příklady? Podívej se na toto cvičení.

Typ 2: Řešení trojúhelníků podle kosinové věty

Toto pravidlo je užitečné pro zjištění velikosti úhlu, pokud známe všechny délky stran. Nebo také pro zjištění neznámé strany, pokud známe další dvě strany a velikost úhlu.

Příklad 1: Zjištění neznámého úhlu

Pojďme zjistit velikost úhlu angle, B v následujícím trojúhelníku:
Podle kosinové věty:
left parenthesis, A, C, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, A, B, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, B, C, right parenthesis, squared, minus, 2, left parenthesis, A, B, right parenthesis, left parenthesis, B, C, right parenthesis, cosine, left parenthesis, angle, B, right parenthesis
Nyní dosadíme hodnoty a vyřešíme:
(5)2=(10)2+(6)2−2(10)(6)cos⁡(∠B)25=100+36−120cos⁡(∠B)120cos⁡(∠B)=111cos⁡(∠B)=111120\begin{aligned} (5)^2&=(10)^2+(6)^2-2(10)(6)\cos(\angle B) \\\\ 25&=100+36-120\cos(\angle B) \\\\ 120\cos(\angle B)&=111 \\\\ \cos(\angle B)&=\dfrac{111}{120} \end{aligned}
Nyní vypočteme pomocí kalkulačky a zaokrouhlíme:
m, angle, B, equals, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 111, divided by, 120, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 22, comma, 33, degrees

Příklad 2: Zjištění neznámé strany

Pojďme zjistit délku strany A, B v následujícím trojúhelníku:
Podle kosinové věty:
left parenthesis, A, B, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, A, C, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, B, C, right parenthesis, squared, minus, 2, left parenthesis, A, C, right parenthesis, left parenthesis, B, C, right parenthesis, cosine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis
Nyní dosadíme hodnoty a vyřešíme:
(AB)2=(5)2+(16)2−2(5)(16)cos⁡(61∘)(AB)2=25+256−160cos⁡(61∘)AB=281−160cos⁡(61∘)AB≈14,3\begin{aligned} (AB)^2&=(5)^2+(16)^2-2(5)(16)\cos(61^\circ) \\\\ (AB)^2&=25+256-160\cos(61^\circ) \\\\ AB&=\sqrt{281-160\cos(61^\circ)} \\\\ AB&\approx 14{,}3 \end{aligned}
Příklad 2.1
  • Současný
angle, A, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
Zaokrouhli na nejbližší stupeň.

Chceš více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.

Typ 3: Pravoúhlý trojúhelník a slovní úlohy

Příklad 3.1
  • Současný
"Zbývá jen jeden." Signalizuje Roman svému bratrovi z úkrytu.
Matyáš souhlasí, také vidí posledního zlého robota.
"34 stupňů." Matyáš signalizuje nazpět, informuje bratra o úhlu, pod kterým vidí Romana a robota.
Roman si zaznamená tento údaj do svého náčrtku (ukázáno dole) a provede výpočet. Zamíří svou laserovou zbraň správným směrem, zaměří a vystřelí.
Do jaké vzdálenosti vystřelí laserová zbraň?
Nezaokrouhluj během výpočtů. Zaokrouhli až finální výsledek na celé metry.
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start text, space, m, end text

Chceš více podobných úloh? Podívej se na toto cvičení.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.