Trigonometrické slovní úlohy: hvězdy

Artemis chce zjistit šířku Orionova pásu, což je seskupení hvězd v souhvězdí Orionu. Již dříve zjistila, vzdálenost ze svého domu k Alnitaku je 736 světelných let a k Mintace je to 915 světelných let, Alnitak a Mintaka jsou konce Orionova pásu. Také ví, že úhel mezi těmito dvěma hvězdami na obloze jsou 3 stupně. Jaká je šířka Orionova pásu? Neboli jaká je vzdálenost mezi Alnitakem a Mintakou? A odpověď chtějí ve světelných rocích. Pojďme si celou situaci nakreslit, abychom si ujasnili, o co jde. Vlastně než to uděláme, doporučuji, abyste zastavili video a zkusili to sami. Tak a teď si to nakreslíme. Dobře, řekněme, že tohle je dům, kde bydlí Artemis. Označíme si ten bod jako A podle Artemis. Anebo ne, označím si to "H" (z anglického Home, tedy domov). Tady je domov. A pak tu máme 2 hvězdy. Dívá se na noční oblohu a vidí tyto hvězdy: Alnitak, která je vzdálená 736 světelných let... ...evidentně to nebudu kreslit v měřítku. Tady je Alnitak. A Mintaka. Řekněme, že tady je Mintaka. A víme několik věcí. Víme, že vzdálenost mezi domovem a Alnitakem je 736 světelných let. Takže tato vzdálenost, všechno je to ve světelných letech a tady je to konkrétně 736. A vzdálenost mezi jejím domem a Mintakou je 915 světelných let. Takže světlu by to trvalo 915 let dostat se z jejího domu k Mintaka, nebo z Mintaky k jejímu domu. Tohle je pak 915 světelných let. A chceme zjistit šířku Orionova pásu, což je vzdálenost mezi Alnitakem a Mintakou. Potřebujeme zjistit tuto vzdálenost. A další údaj, který máme zadaný, je tento úhel. Máme zadaný tento úhel. Říkají nám, že úhel mezi těmito hvězdami na obloze jsou 3 stupně. Toto jsou 3 stupně. Jak tedy zjistíme vzdálenost mezi Alnitakem a Mintakou? Označím si tuto vzdálenost 'x'. Tohle je rovno 'x'. Jak to uděláme? Když známe dvě strany a úhel mezi nimi, můžeme použít kosinovou větu. Tím zjistíme třetí stranu. Pojďme si tedy napsat, jak kosinová věta vypadá. Kosinová věta říká, že 'x' na druhou se rovná součtu druhých mocnin druhých dvou stran... ...bude se tedy rovnat 736 na druhou, plus 915 na druhou, minus 2 krát 736 krát 915 krát kosinus tohoto úhlu. Konkrétně to bude kosinus 3 stupňů. Snažíme se tedy najít délku strany protilehlé úhlu o velikosti 3°. Známe druhé dvě strany, takže kosinová věta, v podstatě... ...omlouvám se, musel jsem si odkašlat, měl jsem arašídy a vyschlo mi v krku. Kde jsem skončil? Říkal jsem, pokud známe úhel a dvě strany, které úhel svírají, můžeme pomocí kosinové věty zjistit délku protilehlé strany. Začíná to vlastně stejně jako Pythagorova věta, ale potom tam musíme přidat další člen, jelikož nemáme pravý úhel. A ta úprava.... Máme 736 na druhou plus 915 na druhou minus 2 krát součin těchto stran, krát kosinus tohoto úhlu. Jinak bychom mohli říct, popřemýšlejte o tom... ...zapíšu to... 'x' se rovná odmocnině z toho všeho. Mohu to jen zkopírovat a vložit. 'x' se bude rovnat druhé odmocnině z tohoto. Vezměme si kalkulačku a počítejme. Ještě ověřím, jestli počítám ve stupních. Ano, je to nastaveno na stupně. Tedy vracím se k výpočtu. Chci spočítat druhou odmocninu z 736 na druhou plus 915 na druhou, minus 2 krát 736 krát 915 krát kosinus 3 stupňů. A teď si zasloužíme famfáry. 'x' je ...pokud to zaokrouhlíme... Na kolik míst vlastně máme zaokrouhlit? Zaokrouhlit na nejbližší světelné roky. Nejbližší světelný rok je 184 světelných let. Zjistili jsme, že 'x' je přibližně 184 světelných let. Světlu by trvalo 184 let, aby se dostalo z Mintaky k Alnitaku. Doufám, že vám to ukázalo, že i v oblasti astronomie se hodí znát kosinovou nebo sinovou větu. Respektive celá trigonometrie je velice užitečná.