Intuice u jednokrokových rovnic

Opět máme tři stejné předměty, všechny mají stejnou hmotnost, kterou ale neznáme. Víme ale, že když sečteme jejich hmotnosti, tak dostaneme stejnou hmotnost, jakou má těchto devět předmětů, a každý z těchto 9 závaží má hmotnost přesně 1 kilogram. Napravo máme celkovou hmotnost 9 kg a nalevo máme 3 předměty, které váží stejně, ale nevíme kolik, proto tuto hmotnost jednoho předmětu označíme ‚x‘. A já bych rád tuto situaci popsal symbolicky. V minulém videu jsme řekli: „Hele co vynásobit 1/3 to a 1/3 tamto?“, což nám zachovalo rovnost, protože nám zbyla 1/3 stejné hmotnosti. Součet nalevo byl stejný jako napravo, a proto je váha vyvážená. Zamysleme se teď, jak toto vyjádřit symbolicky. První věc, nad kterou se zamyslíme, je: Dokážeme dát dohromady rovnici, která by vyjadřovala, že tyto tři závaží hmotnosti ‚x‘ mají dohromady stejnou hmotnost, jako závaží na pravé straně? Dá se to zapsat rovnicí? Můžete si zastavit video a popřemýšlet nad tím. Zamysleme se. Zde nalevo máme tři předměty o hmotnostech ‚x‘, takže jejich celkovou hmotnost můžeme zapsat jako x plus x plus x. A na druhé straně máme devět závaží o hmotnostech 1 kg, což se dá zapsat jako 1 plus 1 plus 1 plus 1 plus 1 plus 1 plus 1 plus 1 plus 1. A to už je matematické vyjádření. Dali jsme tomu tvar rovnice, je to algebraické vyjádření. Není to nejlepší způsob, ale dává smysl. Mohli bychom říct, že když mám x plus x plus x, mám 3 krát x. Takže levou stranu můžu přepsat jako 3x a to se bude rovnat pravé straně. Když sečtu všechny 1 napravo, budu jich mít 9. Takže máme 3x se rovná 9. Jen se ujistím, že jsem jich napsal dost. 1, 2, …, 9. Tak jsme tedy rovnici upravili. A další otázkou je: Jaká by mohla být další matematická úprava? Mohli bychom upravit obě rovnice, ale zabývejme se už jen tou druhou. Co bychom mohli udělat, abychom si vyjádřili ‚x‘, a zjistili tak, jaká je ona záhadná hmotnost ‚x‘. Můžete si zastavit video a popřemýšlet o tom. Když jsme měli příklad s váhou posledně, tak jsme řekli, že nalevo máme 3x, ale chceme mít jenom jedno. Mohli bychom říct, že ať je ‚x‘ jakékoli, a pokud zůstanou váhy vyvážené, bude stejné, jako to, co zbude na pravé straně. Možná jste v pokušení odečíst 2x na levé straně, ale to nám nepomůže, jak už nám matematika zde napravo dokonce ukáže. Pokud odečteme od obou stran 2x, dostaneme nalevo 3x minus 2x a napravo 9 minus 2x. Dostaneme následující: 3 množství něčeho minus 2 množství něčeho, tedy x nalevo, pokud se těch dvou zbavíme. Ale na pravé straně budeme mít 9 minus 2x. Tedy jsme si nepomohli, pořád máme onu záhadnou hmotnost, tentokrát i napravo. Tudy cesta nevede, takže místo toho uděláme, co už jsme udělali posledně. Řekneme: „Co když si vezmeme 1/3 těchto závaží?“ Pokud vezmeme 1/3 na jedné straně a vzápětí i na druhé, měli bychom pořád stejnou hmotnost na levé i pravé straně, protože i původně se hmotnosti rovnaly. V řeči matematiky si řekneme: „Proč nevynásobit obě strany 1/3?“ Nebo řečeno ještě jinak, vydělíme obě strany 3. Násobení 1/3 je totéž jako dělení 3. Vynásobme tedy obě strany 1/3. Ukážeme si, co to znamená. Když tady máme 3x a vynásobíme je 1/3, zbude nám jen x. Napravo máme 9 jednokilogramových závaží a vynásobíme je 1/3, tak zbudou 3. A i v této rovnici je vidět, jak se dělí 3, nebo násobí 1/3. Vydělíme 3 a máme 1x se rovná 1 plus 1 plus 1, tedy se rovná 3. Nebo je to vidět na váze x se rovná 3. Zde stačí jen vypočítat, že 1/3 krát 3 se rovná 1 a zbude nám ‚x‘, což je rovno 9 krát 1/3 neboli 9 děleno 3, což se rovná 3.