If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:5:14

Transkript

Načrtněte kružnici zadanou rovnicí x plus 5 na druhou plus y minus pět na druhou se rovná 4. Na tohle máte cvičení přímo na stránkách školy, kde máte takovou hezkou interaktivní kružnici, kterou můžete posouvat a roztahovat různě, ale my si to tady ukážeme pěkně tak, jak to děláme vždycky, a budeme si tady črtat a vysvětlovat. Tato rovnice, kterou máme zadanou tu kružnici, je vlastně středová rovnice kružnice. Středová, to už nám něco napovídá, takže z toho hezky dokážeme vypočítat střed a dokonce i poloměr. Středová rovnice kružnice je x minus m na druhou plus y minus n na druhou je rovno r na druhou, kdy m a n jsou tedy souřadnice středu, x-ová a y-ová, a r je potom poloměr, takže střed má souřadnice m a n a r je poloměr. Tak se na to pojďme podívat. Máme tady x plus pět na druhou plus y minus pět na druhou se rovná 4. Takže my jsme řekli, že m a n jsou souřadnice středu. Tady máme x plus 5, ale tady je x minus m. Pozor tady na to znaménko, tady máme minus, ale x plus 5 je vlastně to samé jako x minus minus 5. Takže první souřadnice m bude minus 5, střed bude mít souřadnici minus 5. A y minus 5, y minus n, takže n je 5, y-ová souřadnice toho středu je pět a r je poloměr, a tady má být r na druhou na pravé straně, máme tu 4, odmocnina ze čtyř jsou dvě, takže poloměr té kružnice r bude 2. Tak si to pojďme načrtnout. Střed minus 5 a 5, minus pět a pět, to je tady, a poloměr má být 2. Já si to tady tak předpřipravím, ať hezky načrtnu tu kružnici. Teď už si tu kružnici můžeme zhruba načrtnout. Tak, to je zhruba ta naše kružnice, kterou jsme měli načrtnout, která má tedy rovnici x plus pět na druhou plus y minus 5 na druhou se rovná 4. Ale vy víte, že my neradi tady se učíme nějaké poučky a nějaké rovnice nazpaměť jen tak, aniž bychom si to vysvětlili. Takže já vám teď vysvětlím, proč tato kružnice má takovou rovnici. Přepíšeme si ji tady dolů, x plus pět na druhou plus y minus pět na druhou je rovno 4. Já to rovnou přepíšu, tak jak jsme říkali, x minus minus 5 na druhou, tady ještě jedna závorka, plus y minus pět na druhou je rovno. A teď tam dáme ten poloměr na druhou, 2 na druhou. Takže ještě jednou. Tohle to jsou souřadnice středu a tohle to je poloměr. Hned si vysvětlíme proč. Takže máme nějaký střed té naší kružnice v bodě minus 5 a 5, tak, třeba tady. Takže bude nějaký ten S minus 5 a 5 a pak máme poloměr té kružnice 2, takže nějaký poloměr, třeba takto, bude to 2. Tady je nějaký bod, který leží na kružnici, 2. Ten bod, který leží na kružnici, má nějaké souřadnice x a y a kružnice je vlastně množina bodů, které jsou stejně vzdálené od středu, mají nějakou danou vzdálenost od středu, v našem případě 2, takže ta kružnice bude vypadat nějak takto. My si teď ukážeme, že tato rovnice je vlastně jenom využití Pythagorovy věty nebo také vzdálenosti dvou bodů. Jak počítáme vzdálenost dvou bodů ve dvojrozměrném prostoru, což je opět a zase znovu využití Pythagorovy věty. Ať už si vezmu jakýkoliv bod na té kružnici, bude mít nějaké souřadnice x a y. A já si teď, když jsme si vybrali třeba zrovna tento bod, představím tady pravoúhlý trojúhelník. Tady máme pravý úhel a máme tady mezi těmito dvěma body nějaký posun ve vodorovném a svislém směru, takže tady nějakou změnu x a změnu y. Takhle to napíšu, delta x, delta y. Delta x, jak jsme se posunuli ve vodorovném směru, jdu odsud sem, třeba. A mám tady x minus minus pět, x minus minus 5. A tedy x plus 5. Jaká je moje změna y? Jak jsem se posunula ve svislém směru? Jdu odsud sem a tedy y minus 5, y minus 5. To jsou vlastně délky těch našich stran, délky těch stran by samozřejmě byly v absolutních hodnotách, protože nikdy nemůžou být záporné, kdybychom třeba šli odsud sem, u y, tak by to bylo záporné, takže tady by musely být absolutní hodnoty, kdyby to byly délky stran. A když chceme spočítat délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku, tak my víme, že to je a na druhou plus b na druhou rovná se c na druhou. Neboli délka té přepony na druhou je rovna součtu druhých mocnin délek těch odvěsen. Takže vlastně by ta rovnice podle té Pythagorovy věty zněla toto na druhou plus toto na druhou je toto na druhou. Takže by to bylo vlastně x plus pět na druhou, délka jedné odvěsny na druhou, plus y minus pět na druhou, délka druhé odvěsny na druhou, je rovno přeponě na druhou, dvě na druhou. A dostali jsme se přímo sem do našeho zadání. Teď už víte proč středová rovnice kružnice má právě tento tvar.