Odvození středu a poloměru kružnice ze středové rovnice

Středová rovnice kružnice k je x plus 3 na druhou plus y minus 4 na druhou je rovno 49. Najděte souřadnice středu této kružnice a její poloměr. Pojďme se na to podívat. Takže budeme mít nějakou kružnici s nějakým středem. Tady máme střed, většinou se nazývá S, a ten bude mít nějaké souřadnice m a n. Pak tam budeme mít nějaký poloměr kružnice nebo nějaký bod, který leží na kružnici. Ten bude mít souřadnice klasicky x a y, tady to je r, poloměr té kružnice, a teď už si můžeme načrtnout, jak by taková kružnice potom vypadala. Tak, to by byla naše kružnice k. Máme najít souřadnice středu a poloměr, když máme zadanou tuto středovou rovnici. Pojďme tedy na to. Tato rovnice je vlastně rovnice, která nám popisuje všechny ty body na té kružnici, protože kružnice je vlastně množina bodů, které jsou vzdálené přesně r jednotek od toho středu. Pojďme se tedy podívat na ten poloměr r a na ty dva body a zkusíme z toho něco spočítat. Takže máme tady vzdálenost dvou bodů, tedy poloměr je vlastně vzdálenost dvou bodů. Jak už jsme řekli, vychází to z definice té kružnice, a vidíme to i tady. A my už umíme spočítat vzdálenost dvou bodů soustavy souřadnic v dvourozměrném prostoru a to jednoduše tak, že použijeme Pythagorovu větu. To už určitě znáte, jenom to rychle zopakuji. Tady se podíváme, o kolik jsme se posunuli ve vodorovném směru. To bude naše změna x. A potom se podíváme, kolik jsme se mezi tímto bodem a tímto bodem na kružnici posunuli ve svislém směru, tedy podél osy y. Tady nám vznikne pravý úhel. Budeme tu mít pravoúhlý trojúhelník. Toto je tedy naše změna x, delta x, jak jsme zvyklí to zapisovat. Toto je naše delta y. A jak dlouhé jsou ty strany můžeme je nějak vyjádřit podle tady toho, jak máme ty body zapsané? Tady ta strana by vlastně byla x minus m, tady jak jsme už zvyklí to počítat, x minus m. A tady ta strana by byla dlouhá y minus n podle těch souřadnic, y minus n. A co teď s tím? Jednoduše si to zapíšeme jako tu Pythagorovu větu, když sečteme druhou mocninu tohoto a druhou mocninu tohoto, tak dostaneme druhou mocninu tohoto, součet druhých mocnin délek odvěsen je v pravoúhlém trojúhelníku roven druhé mocnině délky přepony, takže to bude vypadat nějak takto. X minus n, to je délka té jedné strany, na druhou, plus délka té druhé strany, délka té druhé odvěsny na druhou, y minus n na druhou, je rovno přeponě, délce přepony na druhou, r na druhou. Tak. A dostali jsme se k té středové rovnici kružnice. To už vám asi něco připomíná. Akorát si musíme tu rovnici z toho zadání trošku upravit do tohoto tvaru a hlavně dát pozor tady na znaménka. Pojďme na to. X minus m na druhou, tady máme x plus něco, takže to musíme trošku upravit. X minus minus 3, to celé na druhou, plus, v pořádku, tady máme y minus n, to je v pořádku, y minus 4 na druhou, rovná se r na druhou, vychází nám tady nějaká pěkná druhá mocnina? Ano, je to 7 na druhou, takže tohle to už je v tom správném tvaru, v uvozovkách, ze kterého to můžeme hezky vyčíst. Teď ještě jednou pozor na znaménka, říkám, chceme souřadnice středu, ty jsou m a n, m a n, ne minus m a minus n tady, m a n. Takže to bude jenom toto, minus 3, a jenom toto, 4. S bude mít tedy souřadnice minus 3 a 4, to jsou souřadnice toho středu. A poloměr bude 7. A máme to krásně spočítané, jenom dodám, že by stačilo vždycky vzít jakékoli x a y, které by vyhovovalo této rovnici, neboli této rovnici. A ten bod s těmi souřadnicemi x a y by potom vždy ležel na této kružnici k. A máme hotovo.