Graf hyperboly

Minule jsme v tom videu o hyperbolách neměli čas na žádné konkrétní příklady. A já jsem vám je slíbila, tak si pojďme jeden ukázat. Máme tady rovnici hyperboly y na druhou lomeno 4 minus x na druhou lomeno devíti je rovno jedné. A my bychom si zde tu hyperbolu chtěli zakreslit. Jak na to půjdeme? Potřebujeme zjistit, jaké má ta hyperbola asymptoty. To se buď naučte ten vzoreček pro asymptoty nazpaměť, ale my to nemáme moc rádi tady tento postup. My se to radši vždycky naučíme nějak spočítat. V tomto případě bychom chtěli z této rovnice vyjádřit y a pak se podívat, jak se to chová, když x bude se blížit plus minus nekonečno. Takže vyjádříme si y. Přičteme k obou stranám x na druhou lomeno devíti, takže dostaneme nalevo jenom y na druhou lomeno čtyřmi. A tady bude jedna plus x na druhou lomeno devíti. Celé to vy násobím čtyřmi. Dostanu y na druhou je rovno... Tady prohodím pořadí těch členů, protože pak se mi to bude hodit. Takže tady bude 4 devítiny x na druhou (jen to x na druhou jsem posunula sem, ale je to to samé) plus 4. Takže y bude rovno +/- odmocnině ze 4/9 x na druhou + 4. Tohle už dál neumíme zjednodušit a neumíme z toho jednoduše udělat odmocninu. Ale my už jsme to dělali. A já jsem to teď i zmínila. Nás zajímá, jak se to bude chovat, když se x bude blížit plus minus nekonečnu, protože ty asymptoty jdou do nekonečna. A ta hyperbola se někde v nekonečnu nekonečně blíží té asymptotě. Je nekonečně blízko těm asymptotám, ale nikdy se jich nedotkne. Ale je opravdu nekonečně blízko. Viz limity, které budete určitě probírat někdy v budoucnu. Takže já si představím, že x se blíží plus minus nekonečnu a jak to tam bude vypadat? Tady bude nekonečně velké číslo. Ano dokonce nekonečno druhou. To je nekonečně velké číslo. A tady ta 4 je jenom nějaká zanedbatelná konstanta, malý plivanec oproti tomu nekonečnou. My ji vlastně můžeme zanedbat a můžeme si jí tak trošku teď nevšímat. Takže můžeme napsat, že y bude přibližně (pozor tady už nejsme přesní úplně) plus minus odmocnina ze 4/9 x na druhou. To už odmocnit umíme, takže y bude přibližně plus minus 2/3x. Takhle nám to stačí. To jsou ty naše asymptoty. 2/3 x a minus 2/3 x. Tak si je pojďme tady zakreslit. 2/3x... takže vždycky jdu o 3 u x. O dva u y. Když jdu o minus 3, tak jdu o minus 2, když mám dvě třetiny x jako v plusu. Takže první asymptota. Načrtnu to na dvakrát, ať to mám aspoň trošku hezké. To je první asymptota naše. A druhá bude minus dvě třetiny x. Takže když jdu od 3 do plusu, jdu o 2 do minusu a naopak o 3 do minusu o 2 plusu, stejným postupem to načrtneme. To jsou ty naše dvě asymptoty. A my teď ještě potřebujeme zjistit. Jestli se ta hyperbola bude otvírat nahoru a dolů anebo doprava a doleva. Na to je více způsobů, záleží, který si pamatujete, nebo který vám vyhovuje. My si ukážeme dva. Prvně se můžeme podívat jestli x může být rovno nule nebo y může být rovno nule . Když tady x dáme rovno nule v této rovnici, tak tohle nám zmizí a zbyde nám y na druhou lomeno čtyřmi je rovno 1. Takže vlastně y na druhou je rovno 4 a y by tedy bylo +/- 2. To nám krásně vyšlo. Napíšu že x je rovno nule. Takže máme body 0 a 2 a 0 a minus 2 které leží na té hyperbole. A jsou to vlastně její vrcholy. Tady si je můžu naznačit. 0, 2 a 0 a -2. Takže je mi úplně jasné, kam se tah yperbola bude otvírat. Rozhodně nahoru a dolů, protože když ty body jsou tady, tak se nemůže otvírat doleva a doprava, protože nemůže protnout ty svoje asymptoty . My nemůžeme jít nějak přes tu asymptotu. Takže se bude otvírat nahoru a dolů. Bude vypadat nějak takto, já zase budu črtat. Bude nekonečně blízko, blízko, blízko, blízko té asymptotě, nikdy ji neprotne. To samé na druhé straně. No..., to je nádherné. A to samé tady dole. Tady si to určitě představíte, tak jak to má vypadat. I s tím mým črtáním. Můžete si zkusit klidně dosadit i nějaké další body. Kdyby y bylo rovno nule, což vidíme, že tady u těchto hyperbol nemůže nastat, tak si to můžete dopočítat. Uvidíte, že vám zbyde, že minus x na druhou lomeno 9 je rovno 1. Tedy minus x na druhou je rovno devíti, což nejde v reálných číslech, aby minus nějaká druhá odmocnina něčeho, což je kladné číslo, tedy aby minus kladné číslo, tedy záporné číslo bylo rovno devíti, to jaksi nejde, takže y nikdy nebude rovno nule, takže jsme počítali správně. Druhý způsob jak se na to můžete podívat je, že se podíváme do té původní odmocniny, co nám vyšla. A my tady máme, to co nám tady zbylo, tedy ta asymptota, když to jde do +/- nekonečna, tak tady je nekonečně velké číslo. Ale vždycky tady máme nějaké plus 4. Ta hyperbola bude vždycky o fous mít větší hodnotu než ta asymptota. Když se podíváme do prvního kvadrantu, který je kladný a kladný, tak je to jednoduché, tak bude mít vždycky o fous větší hodnotu než ta asymptota, takže bude o fous nad ní. Kdyby tady bylo -4, tak by měla o fous menší hodnotu, takže by byla kousek pod tou asymptotou a tím pádem by se otevírala doleva a doprava. A máme +4, takže se bude otvírat nahoru a dolů. Tak to je ten druhý způsob, jak se na to můžete podívat. Záleží, který vám sedí víc. Tady ten má výhodu toho, že můžete rovnou už si dopočítat ty souřadnice vrcholů té hyperboly. Já myslím, že to celkem stačilo. Hyperbolu máme načrtnutou, ukázali jsme si dva způsoby, jak přijít na to, jestli se otvírá nahoru / dolu nebo doprava a doleva.