If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Analytická geometrie

Kurz: Analytická geometrie > Kapitola 3

Lekce 4: Obecná rovnice kružnice
Matematika
Analytická geometrie
Kuželosečky
Obecná rovnice kružnice
© 2023 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Souhrn rovnic popisujících kružnici

Učebna Google
Zopakuj si a procvič způsoby zadávání kružnice, kterými jsou obecná a středová rovnice.

Jak vypadá středová rovnice kružnice?

left parenthesis, x, minus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, start color #ca337c, n, end color #ca337c, right parenthesis, squared, equals, start color #e07d10, r, end color #e07d10, squared
Toto je tzv. středová rovnice kružnice se středem v bodě open bracket, start color #11accd, m, end color #11accd, ;, start color #ca337c, n, end color #ca337c, close bracket a poloměrem start color #e07d10, r, end color #e07d10.
Když v předchozí rovnici rozepíšeme druhé mocniny závorek na levé straně podle vzorečku, zjednodušíme výsledný výraz a následně převedeme vše na levou stranu, dostaneme tzv. obecnou rovnici kružnice.
Například kružnice se středem v bodě open bracket, start color #11accd, 1, end color #11accd, ;, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, close bracket a poloměrem start color #e07d10, 3, end color #e07d10 má středovou rovnici left parenthesis, x, minus, start color #11accd, 1, end color #11accd, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis, squared, equals, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, squared. Její obecnou rovnici získáme následovně:
(x−1)2+(y−2)2=32(x2−2x+1)+(y2−4y+4)=9x2+y2−2x−4y−4=0\begin{aligned} (x-\blueD 1)^2+(y-\maroonD 2)^2&=\goldD 3^2 \\\\ (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)&=9 \\\\ x^2+y^2-2x-4y-4&=0 \end{aligned}
Chceš se dozvědět více o různých tvarech rovnice kružnice? Podívej se na toto video.

Sada příkladů 1: Středová rovnice kružnice

Příklad 1.1
  • Současný
left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, 6, right parenthesis, squared, equals, 48
Doplň souřadnice středu kružnice určené zadanou rovnicí.
open bracket
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
;
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
close bracket
Čemu se rovná poloměr této kružnice?
Pokud bude potřeba, zaokrouhli svou odpověď na setiny.
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Chceš zkusit vyřešit více podobných příkladů? Vyzkoušej tohle a také toto cvičení.

Sada příkladů 2: Určení rovnice kružnice

Příklad 2.1
  • Současný
Kružnice má poloměr square root of, 13, end square root jednotek a jejím středem je bod open bracket, minus, 9, comma, 3, ;, 4, comma, 1, close bracket.
Napiš rovnici této kružnice.

Chceš zkusit více podobných příkladů? Mrkni se na toto cvičení.

Sada příkladů 3: Obecná rovnice kružnice

Abychom z obecné rovnice kružnice vyčetli nějaké informace, přepisujeme ji na středovou rovnici pomocí tzv. „doplnění na čtverec“.
Přechod od obecné rovnice kružnice k té středové si ukážeme na rovnici x, squared, plus, y, squared, plus, 18, x, plus, 14, y, plus, 105, equals, 0:
x2+y2+18x+14y+105=0x2+y2+18x+14y=−105(x2+18x)+(y2+14y)=−105(x2+18x+81)+(y2+14y+49)=−105+81+49(x+9)2+(y+7)2=25(x−(−9))2+(y−(−7))2=52\begin{aligned} x^2+y^2+18x+14y+105&=0 \\\\ x^2+y^2+18x+14y&=-105 \\\\ (x^2+18x)+(y^2+14y)&=-105 \\\\ (x^2+18x\redD{+81})+(y^2+14y\blueD{+49})&=-105\redD{+81}\blueD{+49} \\\\ (x+\redD9)^2+(y+\blueD7)^2&=25 \\\\ (x-(-9))^2+(y-(-7))^2&=5^2 \end{aligned}
Nyní už vidíme, že středem příslušné kružnice je bod open bracket, minus, 9, ;, minus, 7, close bracket a její poloměr je 5.
Příklad 3.1
  • Současný
x, squared, plus, y, squared, minus, 10, x, minus, 16, y, plus, 53, equals, 0
Doplň souřadnice středu kružnice určené zadanou rovnicí.
open bracket
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
;
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
close bracket
Čemu se rovná poloměr této kružnice?
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Podívej se na toto a také toto cvičení.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.