Hlavní obsah

Kurz: Analytická geometrie > Kapitola 3

Lekce 4: Obecná rovnice kružnice

Souhrn rovnic popisujících kružnici

Zopakuj si a procvič způsoby zadávání kružnice, kterými jsou obecná a středová rovnice.

Jak vypadá středová rovnice kružnice?

(x - m)^{2} + (y - n)^{2} = r^{2}

Toto je tzv. středová rovnice kružnice se středem v bodě

[m; n]

a poloměrem

r

Když v předchozí rovnici rozepíšeme druhé mocniny závorek na levé straně podle vzorečku, zjednodušíme výsledný výraz a následně převedeme vše na levou stranu, dostaneme tzv. obecnou rovnici kružnice.

Například kružnice se středem v bodě

[1; 2]

a poloměrem

3

má středovou rovnici

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 3^{2}

. Její obecnou rovnici získáme následovně:

\begin{aligned} (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} & = 3^{2} \\ (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} - 4 y + 4) & = 9 \\ x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 & = 0 \end{aligned}

Chceš se dozvědět více o různých tvarech rovnice kružnice? Podívej se na toto video.

Sada příkladů 1: Středová rovnice kružnice

Příklad 1.1

(x + 4)^{2} + (y - 6)^{2} = 48

Doplň souřadnice středu kružnice určené zadanou rovnicí.

[

;

]

Čemu se rovná poloměr této kružnice?
Pokud bude potřeba, zaokrouhli svou odpověď na setiny.

Chceš zkusit vyřešit více podobných příkladů? Vyzkoušej tohle a také toto cvičení.

Sada příkladů 2: Určení rovnice kružnice

Příklad 2.1

Kružnice má poloměr

\sqrt{13}

jednotek a jejím středem je bod

[- 9, 3; 4, 1]

Napiš rovnici této kružnice.

Chceš zkusit více podobných příkladů? Mrkni se na toto cvičení.

Sada příkladů 3: Obecná rovnice kružnice

Abychom z obecné rovnice kružnice vyčetli nějaké informace, přepisujeme ji na středovou rovnici pomocí tzv. „doplnění na čtverec“.

Přechod od obecné rovnice kružnice k té středové si ukážeme na rovnici

x^{2} + y^{2} + 18 x + 14 y + 105 = 0

\begin{aligned} x^{2} + y^{2} + 18 x + 14 y + 105 & = 0 \\ x^{2} + y^{2} + 18 x + 14 y & = - 105 \\ (x^{2} + 18 x) + (y^{2} + 14 y) & = - 105 \\ (x^{2} + 18 x + 81) + (y^{2} + 14 y + 49) & = - 105 + 81 + 49 \\ (x + 9)^{2} + (y + 7)^{2} & = 25 \\ (x - (- 9))^{2} + (y - (- 7))^{2} & = 5^{2} \end{aligned}

Nyní už vidíme, že středem příslušné kružnice je bod

[- 9; - 7]

a její poloměr je

5

Příklad 3.1

x^{2} + y^{2} - 10 x - 16 y + 53 = 0

Doplň souřadnice středu kružnice určené zadanou rovnicí.

[

;

]

Čemu se rovná poloměr této kružnice?

Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Podívej se na toto a také toto cvičení.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.