Substituce: určitý integrál

V tomto videu si procvičíme použití substituce na určitý integrál. Mějme integrál od 1 do 2 z funkce 2x krát (x na druhou plus 1) na třetí dx. Už jsem vám řekl, že použijeme substituci, ale stejně je důležité si uvědomit, proč se hodí ji použít. Klíčem je zde to, že máme (x na druhou plus 1) na třetí, ale také tu máme derivaci x na druhou plus 1, což je 2 krát x. Takže můžeme použít substituci. Můžeme definovat "u" jako x na druhou plus 1, pak by derivace "u" podle x byla 2 krát x plus 0, neboli 2 krát x. Napíšu to v tomto tvaru. Když mávneme kouzelnou hůlkou, tak vynásobíme obě strany dx. Získali jsme, že du je rovno 2 krát x dx. Takže tuto část integrálu můžeme přepsat. Takže to přepíšu. Za chvíli se pustíme na upravení hraničních hodnot. Máme "u" na třetí, udělám to stejnou oranžovou. To je toto. A pak 2x krát dx. Vzpomeňte si, že toto je vlastně 2x krát (x na druhou plus 1) na třetí krát dx. Takže 2x krát dx a to je du. Nyní nás zajímá… Nemáme neurčitý integrál, nehledáme primitivní funkci. Máme tady určitý integrál. Jak se tedy změní hranice integrálu? Můžeme se na to podívat dvěma způsoby. Můžeme změnit meze integrálu. Protože toto 1 značí, že x je rovno 1 a pak horní mez x je rovno 2. Ale nyní integrujeme podle "u". Když chceme zachovat tvar určitého integrálu, musíme změnit meze, hodnoty musí být vzhledem k "u", od "u" rovno něčemu k "u" rovno něčemu. Musíme tedy meze najít, když je x rovno 1, tak kolik je "u"? Když je x rovno 1, tak máme 1 na druhou plus 1, takže 2, "u" je zde rovno 2. Když je x rovno 2, tak kolik je "u"? Máme 2 na druhou, což je 4, plus 1, takže celkově 5. "U" je rovno 5. Většinou ale neuvidíte, že by se psalo "u" rovno 2, nebo "u" rovno 5. Píše se prostě od 2 do 5, protože integrujeme podle "u". Předpokládáme, že to znamená od "u" rovno 2 do "u" rovno 5. Takže to přepíšeme na integrál od 2 do 5 z "u" na třetí du. Je ale důležité si uvědomit, proč jsme změnili meze. Nyní integrujeme podle "u", a to jsme udělali pomocí substituce. Když je x rovno 1, tak "u" je rovno 2. Když je x rovno 2, tak "u" je rovno 5. A pak to už jen vyčíslíme. Tohle bude rovno… Primitivní funkce z "u" na třetí je "u" na čtvrtou lomeno 4. Vyčíslíme to v 5 a 2. Je to 5 na čtvrtou lomeno 4 minus 2 na čtvrtou lomeno 4. To si můžeme zjednodušit, jak chceme, ale už jsme vyčíslili určitý integrál. Druhý způsobem řešení je ten, že najdeme neurčitý integrál podle x, a použijeme substituci pouze jako prostředníka. Prostě spočítáme neurčitý integrál z 2x krát (x na druhou plus 1) na třetí dx. Ať je řešení jakékoli, tak to vyčíslíme pro x rovno 2 a x rovno 1. Tady použijeme substituci a dostaneme… Zjednodušíme si to stejnou substitucí, integrál z "u" na třetí du. A opět to vypočítáme v x rovno 2 a pak odečteme hodnotu v x rovno 1. Toto bude rovno… Toto je "u" na čtvrtou lomeno 4. A potřebujeme to vyčíslit v x rovno 2 a pak odečíst hodnotu v x rovno 1. K tomu použijeme zpětnou substituci. Vidíme, že "u" je rovno x na druhou plus 1, takže toto je vlastně (x na druhou plus 1) na čtvrtou lomeno 4. To vyčíslíme pro x rovno 2 a x rovno 1. Uvidíte, že dostaneme stejné číslo. Tady máme x rovno 2, takže 2 na druhou plus 1 je 5, to celé umocněné na čtvrtou lomeno 4. Pak minus… 1 na druhou plus 1 je 2, to umocněné na 4 a lomeno 4. Takže získáte stejný výsledek. Buď si ponecháte určitý integrál a změníte meze integrálu vzhledem k proměnné "u". To je jeden postup. Nebo spočítáte neurčitý integrál, použijete substituci jako mezikrok, pak uděláte zpětnou substituci a spočítáte hodnoty v mezích.