Substituce: definovaná proměnné u (více příkladů)

V tomto videu se ještě víc procvičíme použití substituce, kdy se hodí ji použít a jak správně definovat proměnnou "u". Mějme neurčitý integrál (přirozeného logaritmu z x) na desátou, to celé děleno x dx. Hodí se použít substituci a pokud ano, tak jak definovat proměnnou "u"? Klíč k úspěchu je vidět, jestli někde ve výrazu mám funkci a také i její derivaci. A možná jste rovnou poznali, že derivace přirozeného logaritmu z x je 1 lomeno x. Aby to bylo lépe vidět, tak můžu tento integrál zapsat jako (ln(x) na desátou) krát 1 lomeno x dx. Nyní to je vidět lépe. Máme funkci přirozený logaritmus z x umocněnou na desátou, ale taky tady máme její derivaci, 1 lomeno x. Takže můžeme použít substituci. Můžeme definovat "u" jako přirozený logaritmus z x. Vybral jsem přirozený logaritmus z x, protože vidím tady jeho derivaci. A pak můžu říct, že du lomeno dx je rovno 1 lomeno x. Což znamená, že du je rovno 1 lomeno x dx. A tady to máme. Toto je du a toto je naše "u". Krásně se to zjednodušilo na integrál z (u na desátou) du. Dále bychom našli primitivní funkci a pak udělali zpětnou substituci ln(x) za u, abychom získali neurčitý integrál vzhledem k proměnné x. Pojďme na další. Mějme integrál… Zkusme udělat něco zajímavého. Zkusme integrovat tangens z x dx. Hodí se sem substituce? Nejdřív si řeknete, že prostě máme tang(x), tak kde je nějaká derivace? A to zajímavé právě je, že můžeme tangens přepsat pomocí sinu a kosinu. Takže to můžeme zapsat jako integrál ze sin(x) lomeno cos(x) dx. A nyní si možná říkáte, na co použijeme substituci? Můžeme se na to podívat z několik pohledů. Můžeme říci, že derivace sin(x) je cos(x), ale to pak dělíme derivací, místo abychom násobili. Zajímavější je říct, že derivace cos(x) je −sin(x). Sice nemáme −sin(x), ale to není tak těžké získat. Prostě budeme dvakrát násobit −1. Můžeme říct, že máme −(−(sin(x)) a první minus strčit před integrál. To plyne z vlastností integrálů. Dáme jedno znaménko minus ven a jedno znaménko minus dovnitř, takže získáme −(cos(x)). A teď to je zajímavé. Ještě to trochu upravím. Je to rovno minus integrál z 1 lomeno cos(x) krát (−sin(x)) dx. Napadne vás nyní, jak bychom mohli definovat proměnnou "u"? Ve jmenovateli máme cos(x), a máme jeho derivaci, tak co kdybychom položili "u" rovno cos(x)? "U" je rovno cos(x), pak du lomeno dx je rovno −sin(x). Nebo můžeme říci, že du je rovno −sin(x) dx. Takže máme du a "u". Takže jsme to celé zjednodušili na neurčitý integrál z 1 lomeno "u" du. Což je mnohem jednodušší spočítat, a poté musíme opět dosadit zpět cos(x) za u.