Hlavní obsah

Substituce

Substituce je vlastně inverzní operace k derivaci složené funkce. Jinak řečeno nám pomáhá integrovat složenou funkci.

Při hledání primitivní funkce vlastně děláme opačnou derivaci. Některé příklady jsou docela jasné. Například víme, že derivace

x^{2}

2 x

, takže

\int 2 x d x = x^{2} + C

. Stejně se můžeme kouknout na funkce

\sin (x)

e^{x}

\frac{1}{x}

, atd.

V jiných případech to ale nemusí být tak jednoduché. Například kolik je

\int \cos (3 x + 5) d x

? Nápověda: není to

\sin (3 x + 5) + C

. Zkus to zderivovat a uvidíš proč.

Jedna velmi užitečná metoda je substituce, což je v podstatě obrácené pravidlo pro derivaci složené funkce.

Použití substituce v neurčitém integrálu

Představ si, že chceme najít

\int 2 x \cos (x^{2}) d x

. Všimni si, že

2 x

je derivace

x^{2}

, což je vnitřní funkce složené funkce

\cos (x^{2})

. Jinak řečeno, pokud

u (x) = x^{2}

w (x) = \cos (x)

, pak máme:

\overset{u^{'}}{\overset{⏞}{2 x}} \underset{w}{\underset{⏟}{\cos (\overset{u}{\overset{⏞}{x^{2}}})}} = u^{'} (x) w (u (x))

To naznačuje, že se hodí použít substituci.

Nejdřív zderivujeme rovnici

u = x^{2}

podle

x

u

bereme jako implicitní funkci

x

\begin{aligned} u & = x^{2} \\ \frac{d}{d x} [u] & = \frac{d}{d x} [x^{2}] \\ \frac{d u}{d x} & = 2 x \\ d u & = 2 x d x \end{aligned}

Na posledním řádku jsme vynásobili rovnici

d x

, takže máme vyjádřeno

d u

. To je trochu netradiční, ale dobrý trik. Takže máme

u = x^{2}

d u = 2 x d x

. Teď to můžeme dosadit do integrálu:

\begin{aligned} \int 2 x \cos (x^{2}) d x \\ = \int \cos (\underset{u}{\underset{⏟}{x^{2}}}) \underset{d u}{\underset{⏟}{2 x d x}} & Upravení. \\ = \int \cos (u) d u & Substituce. \end{aligned}

Po substituci nám k integrování zbyl výraz

\cos (u)

s proměnnou

u

. To se celkem hodí!

\cos (u)

je základní funkce a její primitivní funkci umíme najít celkem snadno. Jenom pak musíme funkci zase zapsat pomocí neznámé

x

\begin{aligned} \int \cos (u) d u \\ = \sin (u) + C \\ = \sin (x^{2}) + C \end{aligned}

Zjistili jsme, že

\int 2 x \cos (x^{2}) d x

\sin (x^{2}) + C

. Výsledek

\sin (x^{2}) + C

můžeme zderivovat, a ověřit si tak správnost výpočtu.

Ponaučení číslo 1: substituce je vlastně jenom obrácené pravidlo pro derivaci složené funkce

Podle pravidla pro derivaci složené funkce je derivace $w (u (x))$ ‍ rovna $w^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ ‍.
V substituci vezmeme výraz tvaru $w^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ ‍ a najdeme jeho primitivní funkci $w (u (x))$ ‍.

Ponaučení číslo 2: substituce nám pomáhá vzít ošklivý výraz a zjednodušit ho tak, že na vnitřní funkci budeme koukat jako na proměnnou

Příklad 1.A

V rámci příkladu 1 projedeme všechny kroky výpočtu integrálu pomocí substituce.

\int (6 x^{2}) (2 x^{3} + 5)^{6} d x = ?

Jak bychom měli definovat $u$ ‍?

Častá chyba: špatně zvolené $u$ ‍ nebo $d u$ ‍

Pokud špatně zvolíme

u

, tak výsledek bude taky špatně. Například v příkladu 1 musí být

u

rovno

2 x^{3} + 5

. Položení

u

rovno

6 x^{2}

, nebo

(2 x^{3} + 5)^{6}

by nefungovalo.

Pamatuj: Abychom mohli použít substituci, tak musíme napsat integrand jako

w (u (x)) \cdot u^{'} (x)

. Pak

u

musí být vnitřní funkce složené funkce.

Dalším zásadním krokem v tomto procesu je nalezení

d u

. Ujisti se, že derivuješ

u

správně, protože špatně spočítané

d u

bude vést ke špatné odpovědi.

Příklad 2

Tom měl spočítat

\int \cos (5 x - 7) d x

. Zde je jeho výsledek:

\int \cos (5 x - 7) d x = \sin (5 x - 7) + C

Počítal Tom správně? Pokud ne, tak jakou chybu udělal?

(Možnost A)
Tom počítal správně.
(Možnost B)
Tom počítal špatně. Primitivní funkce $\cos (x)$ ‍ není $\sin (x)$ ‍.
(Možnost C)
Tom počítal špatně. Ignoroval fakt, že $\cos (5 x - 7)$ ‍ je složená funkce.
(Možnost D)
Tom počítal špatně. Neměl přičítat konstantu $C$ ‍.

Častá chyba: nepoužití substituce

Pamatuj: Když integruješ složenou funkci, tak nemůžeš prostě vzít primitivní funkci vnější funkce. Musíš použít substituci.

W

bude v našem případě primitivní funkce

w

, chybu pak můžeme zapsat takto:

\int w (u (x)) d x \neq W (u (x)) + C

Další častá chyba: prohození vnitřní funkce a její derivace

Představ si, že chceš vypočítat

\int x^{2} \cos (2 x) d x

. Možná si řekneš "jelikož

2 x

je derivace

x^{2}

, tak můžeme použít substituci". Ve skutečnosti pro substituci musíme mít derivaci vnitřní funkce,

x^{2}

by muselo být derivací

2 x

, aby substituce fungovala. Jelikož tomu tak není, tak v tomto příkladu nejde použít substituce.

Někdy musíme násobit/dělit integrál konstantou

Představ si, že musíme spočítat

\int \sin (3 x + 5) d x

. Všimni si, že máme složenou funkci

\sin (3 x + 5)

, není ničím násobená. To vypadá divně, ale koukněme se, co se z toho vyklube.

Položme

u = 3 x + 5

, pak

d u = 3 d x

. Dosadíme

u

do integrálu, ale ještě před tím uděláme chytrý trik:

\int \sin (3 x + 5) d x = \frac{1}{3} \int \sin (3 x + 5) 3 d x

Vidíš, co jsme tam udělali? Abychom měli

3 d x

v integrandu, tak jsme vynásobili celý integrál

\frac{1}{3}

. Díky tomu můžeme použít substituci a integrál nezmění svoji hodnotu.

Pokračujme ve výpočtu:

\begin{aligned} \frac{1}{3} \int \sin (\underset{u}{\underset{⏟}{3 x + 5}}) \underset{d u}{\underset{⏟}{3 d x}} \\ = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u \\ = - \frac{1}{3} \cos (u) + C \\ = - \frac{1}{3} \cos (3 x + 5) + C \end{aligned}

Ponaučení: Někdy musíme celý integrál násobit nebo dělit konstantou, abychom mohli použít substituci a zároveň abychom nezměnili hodnotu integrálu.

Příklad 3

\int (2 x + 7)^{3} d x = ?

Chteš víc trénovat? Zkus toto cvičení.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Integrální počet