Odhadování limit z grafů

Máme zadaný graf funkce y rovná se f(x) a chceme určit tři různé limity. Jako vždy si zastavte video a zkuste si to vyřešit samostatně, než to uděláme společně. Nejprve se podíváme, čemu se rovná limita f(x) pro x blížící se k 6. Udělám to jinou barvou, abyste to viděli. Když se x blíží k 6 z obou stran... Když se k 6 blížíme z levé strany, od hodnot menších než 6, vypadá to, že se hodnoty funkce f blíží k 1. Když se k bodu x rovno 6 blížíme z pravé strany, vypadá to, že hodnoty funkce f se opět blíží k 1. Aby tato limita existovala, zprava i zleva se musíme blížit k téže hodnotě. V tomto případě, alespoň graficky, protože s grafem si nemůžete být nikdy jistí, ale poskytne velmi dobrý odhad, to vypadá, že limita je rovna 1. Napíšu to tmavší barvou. Nyní přejděme k další limitě. Limita f(x) pro x blížící se ke 4. Když se ke 4 blížíme z levé strany, co se stane? Když se ke 4 blížíme zleva, vypadá to, že hodnoty naší funkce se blíží ke 3. Nezapomeňte, že limita v bodě x může existovat, i když zde funkce není definovaná. Kdybychom chtěli znát f(x) v bodě 4, tak to není definované, ale vypadá to, že když se k bodu x rovno 4 blížíme zleva, hodnoty f se blíží ke 3, a když se ke 4 blížíme zprava, znovu to vypadá, že hodnoty naší funkce se blíží ke 3. Zde bychom tedy řekli, alespoň podle toho, co dokážeme usoudit z grafu, že limita f(x) pro x blížící se ke 4 je rovna 3. I když v tom bodě funkce není definovaná. Nyní se podívejme na limitu pro x blížící se ke 2. A to je zajímavé. Funkce je zde definovaná, f v bodě 2 je 2. Když se blížíme z levé strany, hodnoty naší funkce se blíží ke 2, ale když se k bodu x rovno 2 blížíme z pravé strany, funkční hodnoty jsou čím dál tím blíž k 5. Nedostanou se až do 5, ale když se blížíme po bodech 2,1; 2,01; 2,0001, tak to vypadá, že hodnoty naší funkce jsou čím dál tím blíž k 5. Protože se zleva a zprava blížíme ke dvěma různým hodnotám, když se x blíží ke 2 zleva a zprava, tak řekneme, že tato limita neexistuje. To je docela zajímavé. V prvním případě je funkce v bodě 6 definovaná a limita je rovna funkční hodnotě v bodě x rovno 6. V tomto případě funkce nebyla v bodě x rovno 4 definovaná, ale limita existovala. A v tomto případě funkce je definovaná v bodě x rovno 2, ale limita pro x blížící se ke 2 neexistuje. Zkusme to pro jinou funkci, ať máme více příkladů určování limit z grafu. Zde máme graf funkce y rovná se g(x) a opět si zastavte video a zkuste si, zda tyto limity dokážete z grafu určit. Nejprve máme limitu pro x blížící se k 5 z funkce g(x). Když se k 5 blížíme zleva, vypadá to, že se blížíme k této hodnotě. Zkusím tady nakreslit rovnou přímku. Takže to vypadá, že se blížíme k této hodnotě. Když se k 5 blížíme zprava, tak to rovněž vypadá, že se blížíme k té samé hodnotě. Tato hodnota, když ji od oka odhadnu, tak by to mohlo být zhruba 0,4. Tato limita tedy určitě existuje, ale když se díváme na graf, tak to není tak přesné. Řekl bych, že je to přibližně 0,4. Mohlo by to být 0,41 nebo 0,41456789, to z grafu přesně nevíme. Ale je to přibližně nějaká taková hodnota. Nyní se podívejme na limitu g(x) pro x blížící se k 7. Použijeme ten samý postup. Co se děje, když se blížíme zleva, od hodnot menších než 7? 6,9; 6,99; 6,999. Vypadá to, že hodnoty naší funkce se blíží ke 2. Nezáleží na tom, že funkce je zde definovaná. g v bodě 7 je 5. Když se ale blížíme zleva, když je x rovno 6,9; 6,99 a tak dále, hodnoty naší funkce se blíží ke 2. Když se k bodu x rovno 7 blížíme zprava, vypadá to, že se děje totéž, že hodnoty se blíží ke 2. Takže tohle se bude rovnat 2. Funkce je v daném bodě definovaná a limita v tomto bodě existuje, ale g v bodě 7 se nerovná hodnotě limity g(x) pro x blížící se k 7. Zbývá nám ještě jedna limita. Čemu se rovná limita pro x blížící se k 1? Opět uděláme to samé. Vypadá to, že z levé strany jsou hodnoty neomezené. Když je x rovno 0,9; 0,99; 0,999; 0,99999. Vypadá to, že hodnoty jdou neomezeně k nekonečnu. Když se blížíme zprava, tak se děje to samé. Hodnoty jdou neomezeně k nekonečnu. Někteří lidé občas neformálně řeknou, že limita je rovna nekonečnu, ale když formálně mluvíme o tom, co limita znamená, tak protože jsou hodnoty neomezené, řekneme, že limita neexistuje.