Sečny s obecně daným rozdílem mezi body

Sečna protíná křivku y rovná se přirozený logaritmus z x ve dvou bodech, jejichž x-ové souřadnice jsou 2 a 2 plus h. Jaká je směrnice této sečny? V zadání nám dali dva body ležící na této sečně. Možná to není vidět na první pohled, ale dali nám body… Když je x rovno 2, čemu se rovná y? Víme, že y se rovná přirozenému logaritmu z x, takže v tomhle případě to bude přirozený logaritmus ze 2. A když je x rovno 2 plus h, čemu se rovná y? y bude vždy přirozený logaritmus toho, čemu se rovná x, takže to bude přirozený logaritmus z (2 plus h). Toto jsou tedy ty dva body, které leží na naší sečně. V těchto bodech sečna protíná zadanou křivku. Jsou to dva body na přímce, a když známe dva body na přímce, dokážeme spočítat její směrnici. Připomeňme si, že směrnice se rovná změně y dělené změnou x. Čemu se to tedy bude rovnat? Když budeme druhý bod považovat za koncový, tak se y změnilo z přirozeného logaritmu ze 2 na přirozený logaritmus z (2 plus h), takže změna y bude rovna koncovému bodu, tedy přirozenému logaritmu z (2 plus h), minus počáteční bod, neboli koncová hodnota y minus počáteční hodnota y, tedy minus přirozený logaritmus ze 2. Změna x se bude rovnat koncové hodnotě x, tedy 2 plus h, minus počáteční hodnota x, tedy minus 2. Tyto dvojky se samozřejmě odečtou. Když se teď podíváme na nabídku možností, tak jedna přesně odpovídá tomu, co máme. Přirozený logaritmus z (2 plus h) minus přirozený logaritmus ze 2, to celé lomeno h. Kdybyste si to chtěli lépe představit, tak si to můžeme nakreslit. Tohle teď smažu, ať tu mám místo na graf, abyste lépe viděli, že jde o sečnu. Nejprve nakreslím osu y a osu x. Graf funkce y rovná se přirozený logaritmus z x bude vypadat nějak takto. Samozřejmě to kreslím ručně, takže to není úplně dokonalé. Když máme bod [2;ln(2)], který bude… Pokud je tohle 2 a zde je přirozený logaritmus ze 2, tak tady bude bod [2;ln(2)]. Potom tady máme trochu abstraktnější bod 2 plus h, tedy 2 plus něco. Řekněme, že 2 plus h je zde. Tady na grafu pak bude bod [2+h;ln(2+h)]. Před chvílí jsme hledali směrnici přímky, která spojuje právě tyto dva body. Tato přímka bude vypadat nějak takhle. Směrnici jsme spočítali tak, že jsme nejdřív zjistili, jaká je změna y. Jdeme z y rovno ln(2) do bodu y rovná se ln(2 plus h), takže změna y je přirozený logaritmus z (2 plus h) minus přirozený logaritmus z 2. S x jsme se posunuli ze 2 do 2 plus h, takže změna x je taková, že jsme se posunuli o h. Posunuli jsme se ze 2 do 2 plus h, takže změna x se rovná h. Směrnice této sečny, tedy přímky, která protíná graf ve dvou bodech, se tak rovná této změně y dělené změnou x, a to je opět přesně to, co máme tady.