Sečny s obecně daným rozdílem mezi body (a se zjednodušováním výrazů)

Sečna protíná křivku y rovná se 2 krát x na druhou plus 1 ve dvou bodech, jejichž x-ové souřadnice jsou 4 a 4 plus h, přičemž h je různé od nuly. Jaká je směrnice této sečny v závislosti na h? Vaše odpověď musí být plně roznásobená a zjednodušená. Ze zadání známe dva body ležící na této sečně. Možná to není vidět na první pohled, takže si udělejme tabulku, aby to bylo jasnější. Máme jeden sloupeček pro x a druhý pro y, které se rovná 2 krát x na druhou plus 1. Když je x rovno 4, čemu se bude rovnat y? y se rovná 2 krát 4 na druhou plus 1, což je totéž co 2 krát 16 plus 1, a to je to samé jako 32 plus 1, což je 33. A co když je x rovno 4 plus h? Potom se y rovná 2 krát (4 plus h) na druhou plus 1, a to bude 2 krát (16 plus 8 krát h plus h na druhou) plus 1. Když to nyní roznásobíme číslem 2, dostaneme 32 plus 16 krát h plus 2 krát h na druhou plus 1. Teď můžeme sečíst 32 a 1 a změním pořadí, aby byl první člen s nejvyšší mocninou. Dostanu 2 krát h na druhou plus 16 krát h plus 33. Takže máme dva body. První je bod [4;33] a druhý je bod [4+h;2h^2+16h+33]. Teď musíme určit směrnici mezi těmito dvěma body, protože zadaná sečna prochází oběma těmito body. Jak spočítat směrnici přímky? Musíme vydělit změnu y změnou x. Jaká je změna y? Pokud je tohle koncový bod a tohle počáteční bod, změna y se bude rovnat tento výraz minus tohle, tedy 2 krát h na druhou plus 16 krát h plus 33 minus 33. Tato dvě čísla se nám odečtou. A tohle celé lomeno… Čemu se rovná změna x? Pokud jsme skončili v bodě 4 plus h a začali jsme ve 4, tak to bude 4 plus h minus 4. Tato čísla se opět odečtou, a tak nám zbylo 2 krát h na druhou plus 16 krát h, toto celé lomeno h. V čitateli i jmenovateli můžeme vydělit h, co dostaneme? Zbyde nám 2 krát h plus 16, to celé lomeno 1, neboli jenom 2 krát h plus 16. A máme hotovo. Toto je směrnice naší sečny v závislosti na h. Stačilo si uvědomit, že na sečně leží bod [4,f(4)], neboli bod [4;2 krát 4 na druhou plus 1]. I když jsem tohle vlastně nepojmenoval jako f(x), ale asi víte, co tím myslím. A když je x rovno 4 plus h, tak se y rovná tomuhle a pak už spočítáme směrnici mezi těmito dvěma body.