Sečny: náročný příklad 2

Máme zjistit, ve kterých bodech na grafu je f(x) krát derivace f v bodě x rovno 0. Když máme součin dvou výrazů, který je roven 0, tak to znamená, že alespoň jeden z výrazů musí být roven 0. Nejprve se podívejme, zda najdeme nějaké body, v nichž je f(x) rovno 0. Hodnoty f(x) jsou na svislé ose. Tento graf bychom si mohli označit jako y rovná se f(x). Je v nějakém bodě této křivky hodnota y rovna 0? Hodnota y je kladná, kladná, kladná, ale tady klesá. Nejdřív tady klesá, potom roste a následně zase klesá, V tomto bodě se nakonec hodnota y dostane do 0, ale to není žádný z vyznačených bodů. My máme vybrat jeden, nebo možná dokonce více vyznačených bodů. Zaměříme se tedy na to, kdy se první derivace f rovná 0. Připomeňme si, co první derivace funkce f vůbec představuje. První derivace f představuje směrnici tečny v daném bodě x. Například první derivace f v bodě 0, což je x-ová souřadnice tohoto bodu, se bude rovnat nějakému zápornému číslu. Je to směrnice příslušné tečny. Podobně první derivace f v bodě x rovno 4, což je přesně tento bod, to je směrnice tečny a to bude nějaké kladné číslo. Když se teď podíváme na vyznačené body, ve kterých je směrnice tečny rovna 0? Jak vypadá směrnice rovná 0? Takovou směrnici má vodorovná přímka. Kde tedy bude tečna vodorovná? Mě napadá jen bod B. Vypadá to, že tečna v tomto bodě je skutečně vodorovná. Také se na to můžete dívat tak, že okamžitá změna hodnoty naší funkce v bodě x rovno 2 vypadá, že je blízko k… Toto je bod x rovno 2. Vypadá, že je blízko 0. Ze všech možností bych řekl, že jedině v bodě B to vypadá, že derivace v bodě x rovno 2, neboli směrnice tečny v bodě B, je rovna 0, takže sem napíšu B. Potom tu máme tento divný výraz f v bodě x minus 6, to celé lomeno x. Kdy tento výraz nabývá největší hodnotu? Musíme si rozmyslet, co f v bodě x minus 6, to celé lomeno x, znamená. Kdykoliv vidím takový výraz, obzvlášť když je to v kurzu diferenciálního počtu, tak si řeknu, že to docela vypadá jako směrnice sečny. Vždyť o derivacích vlastně víme jen to, že je třeba najít limitu směrnice sečny. Toto vypadá podobně, zejména když bude y-ová souřadnice nějakého bodu rovna 6. Tohle by totiž mohla být změna y, a kdyby byla x-ová souřadnice toho bodu rovna 0, tak bych měl f v bodě x minus 6, to celé lomeno x minus 0. Leží bod [0;6] na naší křivce? Ano, protože když je x rovno 0, vidíme, že f(x) se rovná 6. Tento výraz si teď přepíšu. Můžeme ho přepsat jako f v bodě x minus 6, to celé lomeno x minus 0. Co tento výraz představuje? Toto se rovná směrnici sečny procházející body [x;f(x)] a [0;f(0)]. Tak to můžeme napsat, protože víme, že f v bodě 0 je rovno 6. Tohle se rovná f v bodě 0. Vlastně to raději přepíšu na bod [0;6]. Podívejme se teď na každý z vyznačených bodů a na to, jaká je směrnice sečny procházející vždy jedním z těchto bodů a bodem A. Tento výraz je vlastně směrnice sečny, jež prochází daným bodem [x;f(x)] a bodem A. Tak si to nakresleme. Sečna procházející body A a B má poměrně zápornou směrnici. Nezapomeňme, že chceme najít největší směrnici. Tato směrnice je poměrně záporná. Sečna mezi A a C má méně zápornou směrnici. Sečna mezi A a D má ještě méně zápornou směrnici. Směrnice je stále záporná, ale už méně záporná. Směrnice sečny mezi A a E je teď zase zápornější a směrnice sečny mezi A a F je ještě víc záporná. Takže kdy je směrnice sečny procházející jedním z těchto bodů a bodem A největší? Nebo bychom mohli říct „nejméně záporná“, protože všechny směrnice jsou záporné. To bude směrnice sečny mezi body D a A. Takže kdy nabývá tento výraz největší hodnotu? V bodě D, tedy v bodě, kde je x rovno 6 a f(x) je něco jako 5,5. Tenhle výraz tak bude f v bodě 6, což je 5,5 nebo možná ještě méně, třeba 5 a jedna třetina nebo tak, minus 6, to celé lomeno 6 minus 0. To je maximum tohoto výrazu, je to nejméně záporná směrnice ze všech sečen.