Derivování za pomoci různých pravidel: strategie

Mám tady dva různé výrazy, které chci zderivovat. Rád bych, abyste si teď zastavili video a zamysleli se nad tím, jak byste šli nejprve na derivaci tohoto výrazu a v čem je to stejné nebo jiné než postup, kterým byste derivovali tento výraz. Naším cílem nebude derivace dopočítat až do konce, ale naučit se, jak poznat, kterou strategii použít. Nejprve pojďme na tuhle derivaci. Hlavní věcí při práci se složitými výrazy, jako jsou tyhle dva, je podívat se trochu zdálky na strukturu těchto výrazů. Mohli bychom to říci také tak, že je dobré se na výraz podívat zvnějšku spíše než zkoumat, co přesně je uvnitř. Když se zvnějšku podíváme na tenhle výraz, tak máme sinus něčeho. Máme tu sinus něčeho, přičemž ono něco zakroužkuji touhle červenou, nebo je to možná spíš růžová. Takhle se na to dívá můj mozek. Když se na to podívám zdálky, tak je to sinus něčeho. To něco bych třeba mohl mocnit na nějaký exponent, zrovna v tomhle případě jde ale o goniometrický výraz. Když máte situaci jako je tahle, tak je to dobré znamení k tomu, abyste použili vzorec pro derivaci složené funkce. Napíšu to. V tomhle případě použijeme vzorec pro derivaci složené funkce, zkráceně to zapíšu jako C.R. Jak ho použijeme? Zderivujeme vnější funkci podle téhle vnitřní a vynásobíme to derivací vnitřní funkce podle x. Napíšu to tak, jak o tom můj mozek občas přemýšlí. Můžeme to napsat jako derivaci podle toho něčeho... Udělám zde tohle růžové kolečko, abych tohle nemusel celé vypisovat. ...ze sinu toho něčeho... Zatím mě ani nezajímá, co oním něčím je. ...krát derivace podle x toho něčeho. Jde jen o použití vzorce pro derivaci složené funkce, ať už je v tomhle růžovém kolečku cokoliv. Mohlo by to být něco s odmocninami, logaritmy nebo čímkoliv jiným, ale pokud je to v argumentu tohoto sinu, tak postupujeme takto. Derivace podle toho něčeho ze sinu toho něčeho krát derivace podle x toho něčeho. Jak tohle bude vypadat pro náš případ? Tato první část... Napíšu to oranžovou. Tato první část bude cos((x na druhou plus 5) krát cos(x)). To je tohle kolečko. Ještě bych tady měl dopsat závorku pro argument kosinu. Tohle musíme vynásobit derivací podle x opět z tohohle všeho, tedy ze součinu (x na druhou plus 5) krát cos(x). Sem ještě musím dopsat závorku. Teď samozřejmě ještě nemám hotovo. Musím ještě zderivovat tohle. Zde bych se opět zdálky podíval na strukturu výrazu. Máme součin dvou výrazů. Nemáme jeden velký výraz, který je v argumentu funkce sinus či kosinus, ani nemáme jeden velký výraz umocněný na nějaký exponent. Máme součin dvou výrazů. Máme tenhle výraz, který násobíme tímhle. Když máme součin dvou výrazů, tak nám to poměrně jasně napovídá, že k výpočtu téhle části bychom měli použít vzorec pro derivaci součinu. Mohl bych teď pokračovat a dopočítat to, což vám doporučuji udělat, ale nás teď zajímají především strategie a jak poznat, kterou použít. Nyní se přesuňme ke druhému příkladu. Tohle vypadá mnohem víc jako tenhle krok v prvním příkladu než začátek. V tomto případě nemáme sinus velkého výrazu, ani nemáme velký výraz umocněný na nějaký exponent, ale máme součin dvou výrazů, tak jako jsme to viděli tady. Máme tento výraz, který násobíme tímhle výrazem. Můj mozek mi tedy řekne, že když mám dva výrazy, tak použiju vzorec pro derivaci součinu. Dva výrazy, které násobíme, takže použiju pravidlo o součinu. Kdyby to byl jeden výraz dělený druhým, použil bych vzorec pro derivaci podílu, ale zde to bude pravidlo o derivaci součinu. Toto pravidlo říká, že to bude derivace podle x z prvního výrazu... Nakreslím tu místo něj oranžové kolečko. ...krát druhý výraz, místo kterého nakreslím modré kolečko. K tomu přičteme první výraz, nikoliv jeho derivaci, vynásobený derivací podle x z druhého výrazu. Tohle je opět jen vzorec pro derivaci součinu. sin(x na druhou plus 5) můžete dosadit tam, kde je oranžové kolečko, a cos(x) tam, kde je modré kolečko, ale hlavním cílem zde není to celé spočítat, ale ukázat vám, jak poznat, jakou mají tyto výrazy strukturu, zamyslet se, zda nejdřív derivovat složenou funkci a až pak součin, nebo nejdřív derivovat součin jako zde. I když to ale uděláte, ještě nebudete mít hotovo. K výpočtu téhle derivace pak bude potřeba vzorec pro derivaci složené funkce, načež budete pokračovat, dokud už nebude třeba nic zderivovat.