Dvojnásobné použití pravidla pro derivaci složené funkce

Řekněme, že y se rovná sin(x na druhou) to celé na třetí, sin(x na druhou) to celé na třetí můžeme napsat také takto, a nás zajímá, čemu se rovná derivace tohohle podle x, tedy čemu se rovná dy lomeno dx, což můžeme napsat také jako y s čárkou. Můžeme na to jít několika způsoby. Nemáme žádný jednoduchý výraz, ale všimněte si, že máme něco umocněné na třetí. Když se podíváme na vnějšek tohoto výrazu... Máme zde něco umocněné na třetí. Můžeme na to jít tak, že použijeme pravidlo pro derivaci složené funkce. Když toto pravidlo použijeme, bude to derivace vnějšku podle vnitřku, tedy něco na třetí... Derivace něčeho na třetí podle toho něčeho, což je 3 krát to něco na druhou, a tohle musíme vynásobit derivací podle x z našeho něčeho. V našem případě se ono něco rovná sinus... Napíšu to modře. ...sinus v bodě x na druhou. Ať už by v těchto kulatých oranžových závorkách bylo cokoliv, tak bych to napsal do těchto kulatých a hranatých oranžových závorek. To už víme z pravidla o derivaci složené funkce. První část už můžeme jenom nějak algebraicky upravit, ale v druhé části teď potřebujeme zderivovat sinus v bodě x na druhou. Pravidlo pro derivaci složené funkce tedy musíme použít ještě jednou. Zderivujeme... Máme tu sinus něčeho, takže to bude... Derivace tohohle celého bude derivace sinu něčeho podle toho něčeho, což je kosinus toho něčeho, krát derivace podle x toho něčeho. V tomto případě je oním něčím x na druhou. Samozřejmě tu stále máme tento výraz vepředu, což je 3 krát sinus na druhou v bodě x na druhou. Už jsme blízko, jen ještě potřebujeme spočítat derivaci podle x z x na druhou. To už jste viděli mnohokrát. Použijeme vzorec pro derivaci mocniny a dostaneme 2 krát x. Když tedy chceme napsat, čemu se rovná dy lomeno dx... Teď si zasloužíme menší oslavnou fanfáru, protože už by to nemělo trvat dlouho. ...dy lomeno dx... Vynásobím 3 a 2 krát x, což je 6 krát x. To jsou tyhle dvě věci. Tohle krát sinus na druhou v bodě x na druhou krát kosinus v bodě x na druhou. A máme hotovo. Několikrát jsme použili pravidlo pro derivaci složené funkce.