Použití pravidla pro derivaci složené funkce a pravidla pro derivaci součinu

V tomto videu spočítáme derivaci podle x z (x na druhou krát sin(x)) na třetí. Zajímavé na tom je, že to lze spočítat různými způsoby. Zastavte si teď video a zkuste to spočítat samostatně. Můžete použít vícero postupů. Jedním z nich je nejdřív použít pravidlo pro derivaci složené funkce. Napíšu tu C.R., aby bylo vidět, že jako první bude derivace složené funkce. Hledáme derivaci podle x z něčeho na třetí. Když to tedy zderivujeme, bude to derivace podle toho něčeho, což je 3 krát to něco na druhou, krát derivace podle x z toho něčeho, přičemž ono něco je v našem případě x na druhou krát sin(x). Jen jsem použil pravidlo pro derivaci složené funkce. Čemu se rovná tato druhá část? Vyznačím to jinou barvou, třeba oranžovou. Zde musíme použít vzorec pro derivaci součinu. Máme součin dvou výrazů, takže zderivujeme... Raději to napíšu. Nyní tedy používáme pravidlo pro derivaci součinu. Musíme zderivovat první výraz... Derivace x na druhou je 2 krát x. Napíšu to víc doprava. Bude to 2 krát x krát druhý výraz, tedy krát sin(x), plus první výraz krát derivace druhého výrazu, tedy krát cos(x). Jen jsem na tuto část použil pravidlo pro derivaci součinu. Tohle celé samozřejmě násobíme celým tímhle výrazem vepředu, takže to napíšu. Tohle celé mohu napsat jako 3 krát... Když máme součin dvou věcí umocněný na druhou, tak můžeme obě umocnit na druhou a až pak je vynásobit. (x na druhou) na druhou je x na čtvrtou a sin(x) na druhou je sinus na druhou v bodě x. Tohle celé pak vynásobíme tímhle výrazem. Kdybychom chtěli, mohli bychom to algebraicky nějak zjednodušit. Můžeme to takhle roznásobit. Co nám pak vyjde? Pojďme na to. 3 krát 2 je 6, x na čtvrtou krát x je x na pátou, sinus na druhou v bodě x krát sin(x) je sin(x) na třetí. Poté plus 3... x na čtvrtou krát x na druhou je x na šestou a pak tam ještě bude sinus na druhou v bodě x vynásobený kosinem. To je jeden možný postup, nejprve derivace složené funkce, potom derivace součinu. Jaký by byl další možný postup? Zastavte si video a zkuste se nad tím zamyslet. Nejdříve bychom mohli využít vlastnosti mocnin z algebry. Pokud to uděláme, dostaneme derivaci podle x z... Když výraz x na druhou krát sin(x) mocníme na třetí, tak (x na druhou) na třetí je x na šestou, tohle krát sin(x) na třetí. Používám stejnou vlastnost mocnin, kterou jsme tady použili při zjednodušování tohoto výrazu. Když máme součin dvou věcí umocněný na nějakou mocninu, tak je to totéž jako každou věc umocnit na danou mocninu a pak to vynásobit. Jak teď spočítáme tohle? Já bych nejprve použil pravidlo pro derivaci součinu. Tak to udělejme. Použijme pravidlo pro derivaci součinu. Bude to derivace prvního výrazu... Derivace x na šestou je 6 krát x na pátou. ...krát druhý výraz, tedy krát sinus na třetí v bodě x neboli sin(x) na třetí, plus první výraz, tedy x na šestou, krát derivace druhého výrazu, kterou zatím napíšu jen jako d lomeno dx z sin(x) na třetí. Abychom spočítali tohle, určitě dává smysl použít pravidlo pro derivaci složené funkce. Čemu se tohle tedy bude rovnat? Máme derivaci něčeho na třetí, takže to bude 3 krát to něco na druhou krát derivace toho něčeho. V našem případě se ono něco rovná sin(x) a derivace sin(x) je cos(x). K tomu ještě musíme přičíst tohle, takže to bude 6 krát x na pátou krát sin(x) na třetí plus x na šestou. Kdybych tohle ještě trochu zjednodušil... I když už asi dobře vidíte, že tyto dva výrazy jsou si rovny. Tento člen se přesně rovná tomuto členu, je i stejně napsaný, a tenhle člen je přesně... Když tady roznásobíme, je to 3 krát x na šestou krát sin(x) na druhou krát cos(x). Na matematice je hezké to, že když postupujeme v souladu s logikou, měli bychom se dobrat téhož výsledku. Hlavní na tom všem je, že existuje více možných postupů. Nejprve můžete zderivovat složenou funkci, pak součin, nebo nejprve součin a pak složenou funkci. V tomto případě není úplně jasné, co je rychlejší. Vypadá to, že postup vpravo je trochu rychlejší, ale někdy... Oba byly skoro stejně rychlé. Někdy však bude jasné, který z postupů je lepší použít. Je totiž dobré minimalizovat počet kroků, protože v nich akorát můžeme udělat zbytečné chyby.