Věta o střední hodnotě

Podívejme se, zda rozumíme Větě o střední hodnotě. A jak uvidíme, až si rozebereme některé matematické pojmy a symboly, jedná se o docela intuitivní větu. Pojďme si představit nějakou funkci f. A o této funkci víme několik věcí. Víme, že je spojitá na uzavřeném intervalu, kde x je mezi 'a' a 'b'. Když použijeme tyto závorky, mluvíme o uzavřeném intervalu. Tedy zahrnujeme bod 'a' z této strany a bod 'b' z pravé strany. Pozn. překladatele: v češtině označujeme jako . A spojitá znamená jen to, že funkce nemá žádné mezery nebo skoky na tomto uzavřeném intervalu. Pojďme dále předpokládat, že je funkce diferencovatelná na otevřeném intervalu mezi body 'a' a 'b'. Teď tedy říkáme, že je v pořádku, pokud funkce není diferencovatelná přímo v bodech 'a' a 'b'. Diferencovatelná znamená, že existuje definovaná derivace. Že funkci mezi těmito body lze derivovat. Je tedy diferencovatelná na otevřeném intervalu (a;b). Toto jsou tedy omezení, se kterými budeme pracovat ve Větě o střední hodnotě. Pojďme si to zkusit představit. Toto je moje funkce. Toto je moje osa y a zde je osa x. A nakreslím náš interval. Toto je a, toto je b. A řekněme, že funkce vypadá nějak takto. Můžeme nakreslit libovolnou funkci. Řekněme, že moje funkce vypadá nějak takto. V tomto bodě je hodnota na ose x rovna a. A hodnota na ose y je f(a). V tomto bodě je hodnota na ose x rovna b a hodnota na ose y je rovna f(b). To, co nám Věta o střední hodnotě říká je, že když vezmeme průměrnou změnu na intervalu, tak v nějakém bodě, alespoň v nějakém z tohoto otevřeného intervalu, je okamžitá rychlost změny stejná jako průměrná rychlost změny. Teď si znázorníme, co to znamená. Pojďme spočítat průměrnou změnu. Průměrná změna mezi bodem 'a' a bodem 'b' bude sklon sečny. Toto je tedy sečna. Vše, co nám Věta o střední hodnotě říká, je, že v nějakém bodě tohoto intervalu bude okamžitý sklon tečny roven sklonu této sečny. A pohledově můžeme vidět, že zde to vypadá, že skon tečny bude stejný jako sklon sečny. Také to vypadá, na stejný případ zde. Sklon tečny bude zde stejný jako sklon sečny. A to intuitivně dává smysl. V nějakém bodě bude okamžitý sklon stejný jako průměrný sklon. Jak bychom toto zapsali matematicky? Pojďme spočítat průměrný sklon na tomto intervalu. Průměrná změna, sklon sečny, bude změna y zde lomeno změnou x. Jaká je naše změna y? Změna y je f(b) minus f(a). Toto celé lomeno změna x. Tedy lomeno b minus a... Napíši to správnou barvou. ...Připomeňme si, o co tady jde. Toto zde je graf funkce y rovno f(x). Říkáme, že sklon sečny, neboli průměrná změna na intervalu (a;b) je změna y... toto je řecké písmeno delta, označení pro změnu, ...lomeno změna na ose x. Což je samozřejmě rovno tomuto. A Věta o střední hodnotě nám říká, že když víme o těchto dvou vlastnostech funkce, tak zde existuje nějaká hodnota x, mezi body 'a' a 'b'. Tedy v otevřeném intervalu (a;b) existuje nějaká hodnota c. Můžeme říci, že hodnota c leží na otevřeném intervalu (a;b). Nebo můžeme říci, že existuje hodnota c, kde a je menší než c a to je menší než b. Tedy nějaké c v tomto intervalu, kde okamžitá změna v této hodnotě x je stejná jako průměrná rychlost změny. Existuje tedy nějaké c v tomto otevřeném intervalu, kde průměrná rychlost změny je rovna okamžité rychlosti změny v tomto bodě. To je celé, co věta říká. A jak jsme viděli na tomto grafu, toto by mohlo být naše c nebo toto by také mohlo být naše c. Podívejme se, máme f spojitou na uzavřeném intervalu , f diferencovatelnou na otevřeném intervalu (a;b) a pak platí tento zápis. Co to vlastně znamená? Vše, co nám to říká je, že v nějakém bodě tohoto intervalu je okamžitá rychlost změny stejná jako průměrná rychlost změny na celém intervalu. V dalším videu vám zkusím ukázat reálný příklad, kde to využít.