Aplikace věty o střední hodnotě

Možná máte dojem, že Věta o střední hodnotě je pouze teoretický konstrukt, který se ukazuje na hodinách diferenciálního počtu. Ale to, co uvidíme v tomto videu, se reálně používá, tedy alespoň částečně, při udělování pokut za překročení rychlosti. Pojďme se zamyslet nad příkladem. Řekněme, že zde je výběr mýtného na dálnici. Jste v zóně mýtného a toto je stanice mýtného v bodě A. Mýtné zaplatíte přesně ve 13:00 a poté Vás dálniční personál zaregistruje. Řekněme, že máte nějaké zařízení, které při zaplacení mýtného ví, kdo jste a zaregistruje vás. A nějak Vám odečte peníze z účtu. Takže to vidí, že jste se tam dostali přesně ve 13:00. A řekněme, že pak jste sjeli z placeného úseku dálnice. Řekněme, že jste sjeli v bodě B. A dostali jste se tam přesně ve 14:00. Volím tyto čísla, aby se nám s tím dobře pracovalo. A řekněme, že jsou vzdálena 80 mil. Tato vzdálenost je tedy 80 mil. Řekněme, že maximální povolená rychlost na této části dálnice je 55 mil za hodinu. Otázka zní: Mohou úředníci dokázat, že jste překročili maximální rychlost? Pojďme si to nakreslit. Myslím, že víte, kam tím mířím. Řekněme, že toto je naše pozice. Pojmenuji tuto osu písmenem "s". To bude v mílích. "S" vlastně neznačí pozici, ale "p" tak trochu připomíná rho pro hustotu. A "d" používáme pro rozdíly ve vzdálenostech a posunech. Takže "s" je to, co se často využívá pro pozici. Řekněme tedy, že "s" je naše pozice. A toto bude osa t pro čas. A řekněme, že toto je v hodinách. A zajímá nás čas na intervalu od 1 do 2. Nekreslím osy úplně v měřítku. Řekněme, že zde je nějaká mezera, jen abyste si nemysleli, že přesně dodržuji měřítko os. Chci se jen soustředit na tuto část intervalu. Toto je čas roven 2, tedy 2 hodiny. V čase 1 jste právě zde. Řekněme, že tato pozice je s(1). A v čase 2 jste v této pozici zde. Vaše pozice je s(2), jste tedy na této souřadnici. A to je vše, co víme. Víme vlastně ještě pár věcí. Víme ještě, jaká je naše změna v čase, tedy 2 minus 1. Víme, jaká je změna v naši pozici. Víme, že změna v pozici je rovna s(2) minus s(1) a to je rovno 80 mil. Změna v pozici je 80 mil. Budu pro jednoduchost předpokládat, že se jedná o rovnou dálnici. Tedy naše změna ve vzdálenosti je stejná jako změna v pozici a to je stejné jako změna v přesunu. Toto je tedy 80 mil. A jaká je naše změna v čase? Lomeno změna v čase. To bude 2 minus 1. Což je 1 hodina, tedy lomeno 1 hodina. Nebo bychom mohli říci, že sklon přímky, která spojuje tyto dva body. Vyznačím to jinou barvou. Sklon této přímky je 80 mil v hodině. Nebo můžete říci, že vaše průměrná rychlost v hodině byla 80 mil. Co tedy úředníci mohou legálně udělat? Nikdy jsem neslyšel takto položenou matematickou větu, ale mohla by být. A pamatuji si, že jsem o tom asi před 10 lety četl a bylo to velmi kontroverzní. Úředníci řekli, podívej, na tomto intervalu byla tvá průměrná rychlost evidentně 80 mil v hodině. Někdy během této hodiny jste, mohli by říci dle Věty o střední hodnotě, museli jet přesně 80 mil v hodině. Tedy spíše nejméně 80 mil v hodině. A to by bylo velmi náročné vyvrátit. Protože Vaše pozice jako funkce času je určitě spojitá a diferencovatelná na tomto intervalu. Je spojitá, nemůžete se jen tak teleportovat z místa na místo. To by bylo dost úžasné auto. A je také diferencovatelná. Máte vždy jednoduše definovanou rychlost. Já tedy vyzývám všechny, aby se pokusili spojit tyto dva body spojitou a diferencovatelnou křivkou, kde je v nějakém bodě okamžitá rychlost, sklon tečny, není to samé jako sklon této přímky. To je nemožné. Věta o střední hodnotě nám říká, že je to nemožné. Nakreslím to. Představme si, že jsem se musel zastavit, abych zaplatil mýtné. Pak jsem začal trochu zrychlovat. Takže teď je má okamžitá rychlost menší než moje průměrná rychlost. Teď zrychluji. Sklon tečny tedy vypadá takto. Pokud se chci dostat sem v daném čase, určitě budu muset zpomalit, až se tam budu blížit. Jediný způsob, jak tyto dva body spojit, je od této chvíle jet rychleji než 80 mil v hodině. A Věta o střední hodnotě nám říká, že pokud je tato funkce spojitá a diferencovatelná na tomto intervalu, spojitá na uzavřeném intervalu a diferencovatelná na otevřeném intervalu. Potom existuje alespoň jeden bod v otevřeném intervalu, který označujeme písmenkem c, kde sklon tečny je stejný jako sklon sečny. Takže tento bod vypadá stejně jako tento. Toto je tedy čas c, vypadá to přibližně na 1:15, Věta o střední hodnotě říká, že v nějakém bodě existuje nějaký čas, kde derivace s v bodě c je rovna této průměrné rychlosti. Je tedy rovna 80 mil v hodině. Vypadá to, že to není jediný bod. Zde by také mohl být kandidát na bod c.