Příklad na větu o střední hodnotě: polynomiální funkce

Řekněme, že máme funkci f(x) definovanou jako druhá mocnina x minus 6x plus 8, pro všechna x. Chtěl bych ukázat, že pro tuto funkci dokážeme najít bod c v intervalu, kde derivace v bodě c je rovna průměrné míře změny na tomto intervalu. Pojďme si zadefinovat interval. Řekněme, že se budeme pohybovat na intervalu (2; 5). Tato funkce je pochopitelně jak spojitá tak i diferencovatelná na tomto intervalu. Musí být diferencovatelná na otevřeném intervalu, nicméně tato funkce je diferencovatelná pro všechna x. Ukažme, že můžeme najít bod c v otevřeném intervalu (2; 5) takový, že jeho derivace je rovna průměrné rychlosti změny v tomto intervalu. Je rovna sklonu sečny mezi koncovými body intervalu. Derivace je tedy rovna f(5) minus f(2) to celé lomeno 5 minus 2. Doporučuji vám nyní zastavit video a zkusit najít hodnotu c, ve které toto platí. Abychom to mohli udělat, pojďme spočítat, kolik toto vychází. Potom vezmeme derivace, dáme je do rovnosti a měli bychom být schopni to vyřešit pro náš bod c. Pojďme na to. Máme f(5) minus f(2). f(5) je rovno 25 minus 30 plus 8. To je minus 5 plus 8, což je rovno plus 3. f(2) je rovno 2 na druhou minus 12, tedy 4 minus 12 plus 8. To tedy bude 0. Zde nám vychází 3 lomeno 3, což je rovno 1. Derivace f v bodě c tedy musí být rovna 1. Čemu se tedy rovná derivace tohoto výrazu? Derivace f v bodě x je rovna 2 krát x minus 6. Musíme tedy zjistit, pro jakou hodnotu x na tomto otevřeném intervalu je výraz roven 1. Toto tedy musí být rovno 1. Pojďme přičíst 6 k oběma stranám, dostáváme 2 krát x je rovno 7. x je tedy rovno 7 lomeno 2, což je to samé jako 3,5. Je to tedy určitě uvnitř tohoto intervalu. Právě jsme tedy našli naši hodnotu c. c je rovno 7 polovin. Pojďme to nakreslit, abychom se ujistili, že to dává smysl. Zde budeme mít osu y a pak tady osu x. Vypadá to, že se vše bude odehrávat v prvním a čtvrtém kvadrantu. Tady máme 1, 2, 3, 4 a 5. Už víme, že bod dva je nulovým bodem. Pokud nakreslíme naši funkci, bude protínat osu x v tomto bodě. Funkcí si můžeme upravit. Je to (x minus 2) krát (x minus 4). Dalším místem, kde naše funkce protne osu je, když x je rovno 4. Vrchol funkce bude zde uprostřed, v bodě x je rovno 3. Když x je rovno 3, 9 minus 18 plus 8. Tedy minus 1. Takže bod [3; −1]. To je pro nás dostatečné, abychom funkci nakreslili. Také víme, že v bodě 5 je hodnota na ose y rovna 3. V bodě 5 jsme tedy zde. V intervalu, který nás zajímá, vypadá graf funkce nějak takto. To je tedy náš interval. A my říkáme, že hledáme bod c, jehož sklon je stejný jako sklon sečny. Stejný jako sklon přímky mezi těmito dvěma body. Pojďme se na to podívat. Někde tady to vypadá, že sklon tečny je stejný. Vypadá to, že má stejný sklon. Vypadá to, že tečna je rovnoběžná se sečnou. A vypadá to, že je to právě v bodě 3,5 neboli 7 polovin. To tedy dává smysl. Tento bod je tedy naše c a c je rovno 7 polovin.