Průběh funkce a první derivace

Na obrázku je graf diferencovatelné funkce f a její první derivace, f s čarou. Tady vidíme modrý graf funkce f, y se rovná f(x), a tady je okrový graf f s čarou. Zdůvodněte pomocí diferenciálního počtu, proč hodnota f klesá pro x větší než 3. Z grafu hned poznáme, že funkce f skutečně klesá pro x větší než 3. A s tím, jak se zvyšuje x, se zároveň snižuje funkční hodnota, tedy y. Než se dostaneme k možnostem, jak bychom to zdůvonili pomocí diferenciálního počtu? Stačí se zaměřit na první derivaci. Když f klesá, tečna k f má záporný sklon, což znamená, že f s čarou je taky záporné. A skutečně vidíme, že derivace f pro x větší než 3 je záporná. Než se dostanu k možnostem, důležité je, že pro x větší než 3 je f s čarou záporné. Teď si projdeme možnosti. f s čarou klesá pro x větší než 3. Jenže nás nezajímá, jestli f s čarou klesá, ale jestli je kladné či záporné. Tam kde je f s čarou záporné, tam f klesá, protože tečna k f má záporný sklon. f s čarou by klidně mohlo klesat a zároveň být pořád kladné, to by vypadalo takhle. f s čarou by sice klesalo, ale bylo by kladné, takže funkce f by stoupala. Odpověď A můžeme vyřadit. S tím, jak se zvyšuje x větší než 3, hodnota f(x) se snižuje. To je pravda, funkční hodnota f skutečně klesá s tím, jak stoupá x. Tahle odpověď je ale taky špatná, protože vůbec nezahrnuje diferenciální počet. f s čarou je záporné pro x větší než 3. To přesně odpovídá mému řešení, tady. Záporné f s čarou znamená, že tečna k f má záporný sklon, neboli že graf f klesá. Tohle je správná odpověď. A odpověď D zní: f s čarou pro x rovno 0 se rovná -3. To ani nezahrnuje interval x větší než 3, který nás zajímá, jen mluví o tomto bodě. Takže možnost D je rozhodně taky špatně. Pojďme vyřešit ještě jeden příklad. Na obrázku je modrý graf funkce g a oranžový graf její první derivace. Dokažte pomocí diferenciálního počtu, že lokální minimum g je v bodě x rovno −3. Vidím, že v bodě x rovno −3 se y rovná −6, což se opravdu jeví jako lokální minimum. Zkusím to napřed vyřešit bez vybírání z možností. Do bodu x se rovná −3 má první derivace g zápornou hodnotu, od bodu x se rovná −3 dál má první derivace hodnotu kladnou. Takhle bych odpověděl já. Je-li totiž derivace před bodem x rovno -3 záporná, funkce g před tímto bodem klesá. A pokud je za tímto bodem derivace kladná, pak funkce g dál od tohoto bodu stoupá, což dokazuje, že g v bodě x rovno -3 skutečně dosahuje lokálního minima. Možnost A: Bod x rovno -3 je nejnižším bodem ve své části grafu. To je sice pravda, ale tato odpověď vůbec nezmiňuje diferenciální počet. Odpověď A můžeme vyřadit. Odpověď B: g s čarou dosahuje lokálního maxima v bodě [0; 3]. To dokonce není pravda... Aha, ano, g s čarou ano. Ano, lokální maximum g s čarou je v bodě [0; 3]. To nevypovídá nic o lokálním minimu funkce g v bodě x rovno −3. Možnost B taky vyřadím. Odpověď C: g s čarou v bodě x rovno −3 má hodnotu 0. To jen dokazuje, že v tomto bodě se sklon tečny rovná 0, ne nutně lokální minimum. Funkce může mít v bodě nulovou derivaci, ale pak dál stejně stoupat/klesat. Přestože sklon tečny v tomto bodě je 0, není v něm žádné lokální minimum. Možnost C taky vyřadím. Možnost D: graf funkce g s čarou protíná osu x zdola nahoru v bodě x rovno −3. To je přesně moje odpověď, g s čarou je před tímto bodem záporné a po něm kladné, což znamená, že sklon tečny k g před tímto bodem je záporný a po něm kladný. To jasně ukazuje, že v bodě x rovno −3 dosahuje funkce g lokálního minima.