Určení toho, kdy funkce roste, pomocí diferenciálního počtu

Na obrázku je modrý graf funkce h a oranžový graf její první derivace, h'. Čtyři studenti měli pomocí diferenciálního počtu dokázat, že funkční hodnota h se zvyšuje pro x větší 0. Přiřaďte komentáře učitele k odpovědím studentů. Než se dostaneme k odpovědím, hned vidíme, že náš graf pro x větší 0 skutečně stoupá. K tomu ale nepotřebujeme diferenciální počet, jen prostě říkáme, že graf stoupá. Máme za úkol toto tvrzení dokázat pomocí diferenciálního počtu, tedy derivací. Víme, že pokud funkce stoupá, její první derivace je kladná, tak jako tady. Než se vůbec dostaneme k řešení studentů, takhle bych úkol řešil já. Ani bych nepotřeboval modrý graf h, stačil by mi oranžový graf její první derivace. Vidím, že pro x větší než 0 je graf první derivace h kladný. A kde je první derivace funkce kladná, tam má tečna k této funkci kladný sklon. Graf původní funkce v takovém bodě tedy nutně stoupá. Teď se podíváme, jak úkol řešili studenti. Máme přiřaďit komentáře učitele k řešením. První student napsal: 'Derivace h se zvyšuje pro x větší než 0.' To je sice pravda, ale vůbec to nesouvisí s tím, proč se zvyšuje funkční hodnota h. Derivace h by se klidně mohla zvyšovat a zároveň být pořád záporná, což by ale znamenalo, že hodnota h se snižuje. Správně měl student odpovědět, že h s čarou je kladné, ne že se zvyšuje. Takže učitel by namítl: 'To nevysvětluje, proč se h zvyšuje.' Druhý student napsal: 'hodnota h roste s tím, jak roste kladné x'. To je sice důvod, proč graf h stoupá, ale vůbec nezmínil derivaci. Učitel by odpověděl: 'Řešení nezahrnuje diferenciální počet.' Třetí student napsal: 'Je to nad osou x.' Jenže co myslí tím 'to'? Mluvil student o grafu h nebo snad h s čarou? Kdyby řekl, že h' s čarou je nad kladné pro x větší než 0, měl by pravdu. Ale takováto odpověď je příliš vágní, učitel by napsal něco ve smyslu: 'Vyjádři se prosím přesněji, taková odpověď nestačí.' A konečně, čtvrtý student napsal: 'Derivace h je kladná pro x větší než 0.' Ano, pokud je derivace funkce v intervalu kladná, funkce v tomto intervalu stoupá. Takže učitel odpoví: 'Bravo! Přesně tak.'