Souvislost mezi f, f' a f'' - grafy

Na obrázku je graf funkce f, její první derivace a její druhé derivace. Naším úkolem je rozpoznat, který je který. Jako vždy si zastavte video a zkuste úlohu nejdříve vyřešit sami. Tak, jdeme na to! Začnu tím, že si ke každému grafu načrtnu, jak by vypadal graf jeho první derivace. Oranžový graf začíná s vysokým, kladným sklonem, který ale klesá do tohoto bodu, kde se sklon rovná 0, a dál klesá do záporných hodnot. První derivace této funkce začne v kladném kvadrantu, v bodě pod maximem protne osu, protože sklon tečny se tu rovná 0, a dál klesá, alespoň ve zobrazeném intervalu. Mohla by vypadat nějak takhle, možná jinak zakřivená, ale rozhodně tímto směrem. A hned vidíme, že modrý graf není derivací oranžového grafu, protože u osy y stoupá. Místo aby přecházel z kladných hodnot do záporných, jde ze záporných do kladných. Víme, že modrý graf derivací oranžového grafu nebude, ale co purpurový graf? Ten v daném intervalu klesá, jak má, protíná osu x ve správném bodě. V prvním intervalu je kladný, ve druhém je záporný, zkrátka odpovídá sklonu tečny. Nejsme sice zvyklí, aby derivace měla víc extrémů, než původní funkce, ale v tomto případě by to mohlo být prostě proto, že nevidíme celou původní funkci. Vidíme, že purpurový graf je tu záporný, a dál správně klesá k tomuto minimu. Odpovídá tomuto bodu v oranžovém grafu, jehož sklon je odtud méně a méně záporný, a v tomto bodě je potom sklon tečny k oranžovému grafu roven 0. Oranžový graf sice vypadá takto, my ale nemáme zobrazenou jeho druhou část. Takže je dost pravděpodobné, že purpurový graf je první derivací oranžového grafu. Tohle by mohlo být f a tohle zase f s čarou. Jak by ale vypadala první derivace modrého grafu? Sklon je napřed velmi záporný, ale stoupá až do tohoto bodu, kde se sklon rovná 0. V tomto bodě derivace protíná osu x, je kladná a zvyšuje se, potom zase klesá, nějak takhle klesá k tomuto bodu, kde znovu protíná osu x, a dál už jen klesá. Můj hrubý náčrt je dost podobný oranžovému grafu, mohl by tedy být derivací modrého. Modrý graf je tedy funkce f, oranžový je f s čarou, purpurový je f se dvěma čarami. To vypadá jako správné řešení, pro jistotu si načrtneme i derivaci purpurového grafu. Sklon začíná kladný, ale hned v tomto bodě klesá na 0, derivace by vypadala takto. Zhruba k tomuto bodu sklon tečny klesá, od něj stoupá, až kousek dál je roven 0. Od tohoto minima pak dále stoupá, má tvar písmene U, což neodpovídá žádnému grafu. Máme potvrzené, že žádný ze zadaných grafů není derivací purpurového grafu. Takže víme, že modrý graf je f, oranžový f s čarou a purpurový f se dvěma čarami.