Součet vektorů zadaných pomocí velikosti a směru – dokončení

V minulém videu jsme si ukazovali, jak spočítat x-ovou a y-ovou složku součtu těchto dvou vektorů a a b, které byly zadané pomocí velikosti a jejich směru. Nejprve jsme si našli x-ové a y-ové složky obou dvou vektorů a pak jsme je sečetli. A dostali jsme tady toto. Tedy x-ovou a y-ovou složku vektoru, který vznikne součtem těchto dvou vektorů. A teď bychom si rádi spočítali velikost tohoto vektoru a jeho směr. A ne jenom spočítali, ale ukážeme si to i graficky. Já tady jenom ten vektor pojmenuji, aby se nám s ním dobře pracovalo, takže vektor a plus b bude nějaký vektor c. Já si tady ty dva vektory zkopíruji, tak jak je máme nakreslené, načrtnuté. Teď, vektor b, tak, hned vám vysvětlím, proč to dělám takhle. Prvně to tu ještě trošku vyčistím, ať tu nemáme úplně v tom guláš. Zhruba, ať to tady hezky vidíme. Protože my jsme totiž počítali součet vektorů a a b, tohle je vektor a a tohle je vektor b. Součet dvou vektorů graficky znázorňujeme tak, že vezmeme ten první vektor a ten druhý vektor, počáteční bod toho druhého vektoru umístíme do koncového bodu toho prvního vektoru. A výsledný vektor bude mít počátek v počátečním bodu toho prvního vektoru a konec v tom koncovém bodu toho druhého vektoru. Takže bude vypadat nějak takto. Je to samozřejmě náčrtek, berte to s rezervou. To je tedy náš vektor c. A jak už jsem řekla, budeme chtít spočítat jeho velikost a směr. Takže velikost. Jak spočítáme velikost vektoru? My víme už dávno, z minulých videí, že to je vlastně Pythagorova věta, poněvadž si tady můžu představit jeho x-ovou a y-ovou složku a vlastně tady vytvořím takový pravoúhlý trojúhelník a délka přepony v pravoúhlém trojúhelníku je rovna odmocnině součtu druhých mocnin délek těch odvěsen. Bude to tedy odmocnina, dlouhá odmocnina. Podíváme se na tu x-ovou a y-ovou složku. Takže x-ová. 3 krát odmocnina ze tří děleno dvěma minus odmocnina ze dvou, to celé na druhou, plus tři poloviny plus odmocnina ze dvou, to celé na druhou. Teď přijde ke slovu kalkulačka, poněvadž tohle je poněkud složitější. Tak, teď to bude chvilku trvat, takže tři krát odmocnina ze tří děleno dvěma minus odmocnina ze dvou. To celé chceme na druhou. Výborně, plus, další závorka, 3 poloviny plus odmocnina ze dvou, to celé opět na druhou. To nám něco vyhodí. A chceme z toho odmocninu, výborně. 3 celá, zaokrouhlíme to na 1, 4, 6, 3 celá 1, 4, 6, takže přibližně samozřejmě 3,146. To je tedy velikost toho vektoru c, neboli délka této orientované úsečky, která ho znázorňuje. A celkem to dává smysl, protože toto, a, vektor a měl délku 3 a vektor b 2, tak vidíme, že to tak odpovídá, že by mohl mít zhruba stejnou velikost jako vektor a. Tak, to jsme spočítali správně. A teď se podíváme na ten směr. Chceme tedy spočítat tento úhel, budeme mu říkat klasicky theta. Jak to spočítáme? Zase už několikrát používané goniometrické funkce, představíme si pravoúhlý trojúhelník, teď dokonce známe i délku té přepony, ale tu nepotřebujeme, stačí nám odvěsny, protože protilehlá ku přilehlé. To je tangens. Takže tangens thety bude protilehlá ku přilehlé, tedy y ku x, y-ová složka děleno ta x-ová. Já je mám tady, nemusím se koukat nahoru, to je x a to je y. Takže to bude rovno 3 poloviny plus odmocnina ze dvou, y-ová složka děleno x-ová, 3 odmocniny ze tří děleno dvěma minus odmocnina ze dvou. Chceme-li thetu, potřebujeme inverzní tangens, tedy arkus tangens, takže theta bude rovno arcus tangens, teď celého tohoto, jenom to rychle opíšu. 3 poloviny plus odmocnina ze dvou děleno 3 odmocniny ze tří děleno dvěma minus odmocnina ze dvou. Opět kalkulačka. Pojďme na to. Já dám radši závorky. 3 poloviny plus odmocnina ze dvou, kontrolujte mě, děleno další závorka, 3 odmocniny ze 3 děleno dvěma minus odmocnina ze dvou, tak, to nám něco dá. A my z toho chceme inverzní tangens, arkus tangens. Šedesát sedm celých, řekněme, osmdesát devět, takže zhruba šedesát sedm celých osmdesát devět stupňů. Podíváme se, jestli to zhruba sedí. Tady to je pravý úhel, 90. Ano, vidíme, že to je o něco více než 60, takže jsme počítali velice pravděpodobně správně. Takže už máme jak velikost toho vektoru, tak směr. Výborně. Ještě tady podotknu na závěr jednu zajímavou věc. Možná by vás napadlo, že velikost vektoru, který vznikne součtem dvou vektorů, by měla být součet jejich velikostí tedy 3 + 2, 5. Ale ono tomu tak, jak vidíte, vůbec není. Ta velikost je menší. Ta velikost by byla součtem velikostí těch dvou vektorů, pouze pokud by oba dva vedly stejným směrem. Jinak bude vždycky menší. A to proto, že nám tu vznikne jakoby graficky takový trojúhelník. A součet délek dvou libovolných stran v trojúhelníku musí být vždy větší než délka té třetí, poslední strany, jinak bychom z těch stran nestvořili trojúhelník. Ale o tom si už povykládáme a popíšeme a vysvětlíme si to v jiném videu. To jsem chtěla jenom podotknout na závěr. Každopádně velikost a směr máme spočítané.