Velikost úhlu sevřeného vektory

Dnes si budeme povídat o úhlu mezi vektory a úhlu mezi přímkami. Ještě předtím si však musíme zadefinovat skalární součin vektorů. Řekněme, že máme vektor u se složkami u1, u2 a vektor se složkami v1, v2. Skalární součin vektoru u a v, pak píšeme jako u krát v a definujeme ho jako u1 krát v1 plus u2 krát v2. Nejde tedy o nic jiného, než že spolu nejprve vynásobíme první složky obou vektorů a potom k výsledku přičteme součin druhých složek obou vektorů. Také si dejte pozor na to, že skalární součin vektorů je něco jiného než násobení vektoru skalárem. Když násobíme vektor skalárem, tak násobíme číslo krát vektor. Skalární součin vektoru je ale vektor krát vektor. Když navíc násobíme vektor skalárem to znamená nějakým reálným číslem, tak výsledkem je vektor. Zato když provedeme skalární součin vektorů, tak výsledkem je číslo. Abychom si to procvičili, spočítejme nyní skalární součin vektorů (1, 3) a (-2, 1). Podle definice je skalární součin u krát v těchto vektorů roven součinu jejich prvních složek tedy 1 krát -2. Plus součin jejich druhých složek tedy plus 3 krát 1. To se nám zjednoduší na -2 plus 3 a -2+3 je 1. Skalární součin vektorů u a v je tedy roven jedné. Všimněme si, že pokud máme vektor u se složkami u1 a u2, tak jeho velikost můžeme zapsat také jako odmocninu ze skalárního součinu vektoru u se sebou samým. Skalární součin vektoru u a vektoru u se totiž rovná první složka vektoru u krát první složka vektoru u, neboli u1 na druhou. Plus druhá složka vektoru u krát druhá složka vektoru u neboli plus u2 na druhou. No, my máme skalární součin pod odmocninou, takže celkem to bude odmocnina z u1 na druhou plus u2 na druhou. To se ale přímo podle definice rovná velikosti vektoru u. Skalární součin tedy máme zadefinovaný a nyní už se můžeme podívat, jak spočítat úhel mezi dvěma vektory. Začněme tím, že si nakreslíme nějaké dva vektory u a v se stejným počátečním bodem. Vidíme, že tyto vektory spolu vlastně svírají dva úhly. Prvním z nich je úhel alpha. Jak je asi z obrázku patrné, velikost tohoto úhlu je někde mezi 0 a 180 stupni. Druhým úhlem je úhel beta. Velikost tohoto úhlu je určitě alespoň 180 stupňů, ale na druhou stranu to nemůže být více než plný úhel. Tedy nemůže to být více než 360 stupňů. Když se ale bavíme o úhlu mezi vektory, tak máme na mysli vždy úhel alpha, tedy úhel jehož velikost je mezi 0 a 180 stupni. Nyní si zkusme rozmyslet, jak úhel alfa spočítat. Nejprve si nakreslíme souřadnicové osy. Nyní nakreslíme vektor u tak, aby začínal v počátku a mířil stejným směrem jako osa x. Dále si nakreslíme vektor v a úhel alpha. Všimněme si, že úhel alpha je směrový úhel vektoru v, protože jde o úhel, který vektor v svírá s kladně orientovanou osou x. Z předchozích videí už víme, že první složka vektoru v se potom rovná velikost vektoru v krát kosinus alpha a jeho druhá složka je velikost vektoru v krát sinus alpha. Stejným způsobem můžeme vyjádřit i složky vektoru u. Protože tento vektor leží přímo na ose x, tak jeho směrový úhel je 0 stupňů. Z toho plyne, že první složka tohoto vektoru je rovna velikost vektoru u krát kosinus 0 stupňů a jeho druhá složka je rovna velikost vektoru u krát sinus 0 stupňů. Protože kosinus 0 stupňů je 1 a sinus 0 stupňů je 0, tak dostaneme, že vektor u má složky velikost vektoru u a 0. Podívejme se, jak to dopadne, když uděláme skalární součin těchto vektorů. Víme že u skalární součin v se rovná u1 krát v1 plus u2 krát v2, první složka vektoru u je jeho velikost, tedy velikost u. A první složka vektoru v je velikost v krát kosinus alpha. Druhá složka vektoru u je nula a druhá složka vektoru v je velikost v krát sinus alpha. Poněvadž 0 krát cokoliv je nula, tak tedy dostaneme, že skalární součin vektoru u a v se rovná velikost vektoru u krát velikost vektoru v krát kosinus alpha. Nyní obě strany této rovnosti vydělíme velikostí vektoru u a velikostí vektoru v a dostaneme, že kosinus alpha se rovná skalární součin vektoru u a vektoru v děleno velikost vektoru u krát velikost vektoru v. Abychom však nedělili nulou, tak musíme předpokládat, že vektor u je nenulový a také že vektor v je nenulový. Pokud jsou tedy vektory u a v nenulové, tak jsme schopni kosinus úhlu, který svírají vyjádřit pomocí tohoto vzorce. Abych ale pravdu řekl, tak úhel mezi vektory stejně definujme jenom tehdy, pokud jsou oba vektory nenulové. Akorát jsem to na začátku zapomněl zmínit. Tedy že tato podmínka nám nevadí. Možná byste také mohli namítnout, že vektor u přece nemusí mířit zrovna stejným směrem jako osa x. Ukazuje se ale, že dokonce i když vektor u míří jiným směrem, tak pro něj platí stejný vzorec. A nyní už se pojďme podívat na to, jak tento vzorec použít k výpočtu úhlu sevřeného mezi dvěma konkrétními vektory. Spočtěme velikost úhlu sevřeného vektory (1, 3) a (-2, 1), které zde máme zakresleny do soustavy souřadnic. Víme, že kosinus z tohoto úhlu se rovná skalární součin vektoru u a v děleno velikost vektoru u krát velikost vektoru v. Spočtěme nejprve skalární součin obou vektoru. Ten se přímo z definice rovná u1 krát v1 plus u2 krát v2. První složka vektoru u je 1 a první složka vektoru v je -2, takže to bude 1 krát -2 plus druhá složka vektoru u je 3 a druhá složka vektoru v je 1, takže plus 3 krát 1. 1 krát -2 je -2 a 3 krát 1 je 3. Takže dostaneme minus 2 plus 3 a to je 1. Nyní s spočtěme velikosti obou vektorů. Víme, že velikost vektoru u se rovná odmocnina z u1 na druhou plus u2 na druhou, což je v našem případě rovno odmocnina z 1 na druhou plus 3 na druhou. Jedna na druhou je 1 a 3 a na druhou je 9, takže dostaneme odmocninu z 1 plus 9. No a odmocnina z 1 plus 9 to je odmocnina z 10. Velikost vektoru v je rovna odmocnině z v1 na druhou plus v2 na druhou a to se rovná odmocnina z -2 na druhou plus 1 na druhou. -2 na druhou je 4 a 1 na druhou je 1. Takže dostáváme odmocninu ze 4 plus 1 a odmocnina ze 4 plus 1... To je odmocnina z 5. Spočítané údaje nyní dosadíme do vzorce pro kosinus alfa. Tím dostaneme, že kosinus alpha se rovná 1 lomeno odmocnina z deseti krát odmocnina z pěti. To se díky pravidlům pro počítání s odmocninami rovná 1 lomeno odmocnina z 10 krát 5 neboli jedna lomeno odmocnina z padesáti. Nás ale nezajímá čemu se rovná kosinus alpha. My chceme samotný úhel alpha. Abychom se kosinu zbavili, tak na obě dvě strany této rovnosti použijeme inverzní funkci k funkci kosinus a tou je funkce arkus kosinus. Pokud už si na inverzní funkce ke geometrickým funkcím nevzpomínáte, můžete si je připomenout v našem kurzu trigonometrie. Když na obě strany naší rovnosti aplikujeme funkci arkus kosinus, dostaneme, že alpha se rovná arkus kosinus z jedna lomeno odmocnina z 50. Tuto hodnotu nyní musíme spočítat na kalkulačce, na které se ale většinou funkce arkus kosinus místo arc cos píše jako kosinus na minus první. Po naťukání do kalkulačky dostaneme, že úhel alpha se rovná přibližně 81,9 desetin stupně. To docela dobře odpovídá tomu, co máme na obrázku. Protože vektory u a v vypadají, že jsou skoro kolmé a úhel 81 stupňů není zase tak daleko od devadesáti stupňů. Když už víme, jak spočítat úhel mezi dvěma vektory, tak už není tak těžké spočítat ani úhel mezi dvěma přímkami, kterému se také často říká odchylka. Nakreslíme si tedy nějaké dvě přímky. Vyznačme si tedy na obou přímkách nějaký jejich směrový vektor a pojmenujeme je u a v. Pokud už si nevzpomínáte, jak je směrový vektor definován, můžete se podívat na naše video o různých tvarech rovnice přímky, ve kterém ho definujeme. Jedním z úhlu který tyto přímky svírají je úhel fí. Z toho, co víme o vrcholových úhlech, se pak i velikost tohoto úhlu rovná fí. Druhým úhlem, který tyto přímky svírají, je úhel omega a díky vrcholovým úhlům opět víme, že i velikost posledního úhlu je omega. Dvě přímky spolu tedy mohou svírat potenciálně dva různě veliké úhly. A tak si opět musíme vybrat, který z úhlů budeme považovat za jejich odchylku. Všimněme si, že velikost úhlu fí je někde mezi nulou a devadesáti stupni, zatímco úhel omega má alespoň 90 stupňů, ale nemůže mít více než 180 stupňů. Odchylkou přímek je potom ten úhel, jehož velikost je mezi nulou a devadesáti stupni. Tedy v našem případě se jedná o úhel fí. Asi vás už možná napadá, že velikost úhlu fí spočítáme tak, že spočítáme velikost úhlu sevřené příslušnými směrovými vektory. Bohužel to ale není tak jednoduché. Všimněme si totiž, že úhel sevřený vektory u a v je omega a ne fí. Což dokládá i následující obrázek. Úhel omega má totiž velikost mezi nulou a 180 stupni, zatímco druhý bílý úhel má velikost větší nebo rovno 180 stupňů. Podle definice úhlu mezi dvěma vektory, tedy vektory u a v svírají úhel omega. My bychom ale chtěli, aby svírali úhel fí, protože pak už bychom mohli použít nám známý vzoreček. To zařídíme tak, že jeden z vektorů otočíme na druhou stranu. Otočme například vektor v. Původní vektory u a v spolu svírají úhel omega a vektory u a -v už spolu svírají úhel fí. Abychom ale nemuseli pokaždé přemýšlet, jestli a který vektor máme otočit, existuje pro úhel mezi přímkami velmi podobný vzorec jako pro úhel mezi vektory. Kdybychom chtěli spočítat úhel mezi vektory u a v, tak víme, že pro něj platí kosinus fí však rovná se skalární součin vektoru u a v děleno velikost vektoru u krát velikost vektoru v. Jak jsme si ale právě řekli, tak ne vždy tímto dostaneme to, co bychom chtěli. Kdybychom byli například v situaci na našem obrázku, tak bychom tímto nedostali úhel fí, ale úhel omega. Uvedený vzorec tedy ještě musíme trochu upravit, a to tak, že skalární součin dáme do absolutní hodnoty. Díky tomuto pěknému triku už nemusíme přemýšlet, zda a který vektor potřebujeme otočit, protože na pravé straně máme nezáporné číslo. Když nyní na obě dvě strany použijeme funkci arkus kosinus, dostaneme úhel, jehož velikost je mezi nulou a devadesáti stupni. Což je přesně to, co chceme. A nyní se pojďme podívat na to, jak tento vzorec použít. Spočítejme odchylku přímky procházející body [1, 2], [0, 3] a přímky, která prochází body [-1, 0], [1, 1]. Jako první musíme určit nějaký směrový vektor obou přímek. Víme, že na první přímce leží body A a B a tak jedním z jejich směrových vektorů je vektor, který zapisujeme jako AB. První složka tohoto vektoru se potom rovná první souřadnice bodu B, což je nula, minus první souřadnice bodu A, což je 1. Druhá složka se potom rovná druhá souřadnice bodu B, což je tři, minus druhá souřadnice bodu A, tedy 3 minus 2. To se nám následně zjednoduší na vektor (-1, 1). Na druhé přímce leží body C a D, a tak je jedním z jejich směrových vektorů vektor CD. První složka tohoto vektoru je rovna první souřadnici bodu D, což je 2. Minus první souřadnice bodu C tedy 2 - (-1). Druhá složka je rovna druhé souřadnici bodu D, což je 1, minus druhá souřadnice bodu C, tedy 1 minus 0. To se nám následně zjednoduší na [3; 1]. Když už máme směrové vektory, můžeme použít náš vzorec kosinus fí = absolutní hodnota ze skalárního součinu vektoru u a v, děleno velikost vektoru u krát velikost vektoru v. Skalární součin vektorů u a v se rovná u1 . v1 + u2 . v2. A to se rovná -1 krát 3 plus 1 krát 1, což se nám zjednoduší na -3 plus 1, a to je -2 a absolutní hodnota z -2 je 2. Velikost vektoru u je odmocnina z u1 na druhou plus u2 na druhou, což je v našem případě odmocnina z -1 na druhou plus 1 na druhou. -1 na druhou je 1 a 1 na druhou je také 1. Takže dohromady dostaneme odmocninu z jedna plus jedna, a to je odmocnina ze dvou. Velikost vektoru v je rovna odmocnině z v1 na druhou plus v2 na druhou a to se rovná odmocnina ze 3 na druhou plus 1 na druhou. 3 na druhou je 9 a 1 na druhou je 1. Takže dostáváme odmocninu z 9 plus 1, a to je odmocnina z 10. Celkem tak platí, že kosinus fí se rovná 2 lomeno odmocnina ze 2 krát odmocnina z 10, což se dá ještě zjednodušit na 2 lomeno odmocnina z 2 krát 10, a to je 2 odmocnina z dvaceti. Nyní na obě strany této rovnosti použijeme funkci arkus kosinus a dostaneme, že fí se rovná arkus kosinus z 2 lomeno odmocnina z 20. To se po naťukání do kalkulačky rovná přibližně 63,4 desetiny stupně. Na úplný závěr se ještě podívejme na směrový a normálový vektor přímky, který jsme si definovali ve videu shrnujícím různé tvary rovnice přímky. Říkali jsme si, že pokud vektor se složkami u1 a u2 je směrový vektor nějaké přímky, tak normálový vektor získáme tak, že prohodíme složky tohoto vektoru a navíc u jedné změníme znaménko. Normálovým vektorem k vektoru u je tedy například vektor se složkami (-u2, u1), který označme jako n. Ve zmíněném videu jsem vám tvrdil, že tyto vektory jsou na sebe kolmé a nyní už si to můžeme ukázat. Skalární součin vektoru u a n se totiž rovná u1 krát minus u2 plus u2 krát u1, což se nám zjednoduší na minus u1 krát u2 plus u1 krát u2. No a to je 0. Víme, že pro úhel sevřený vektory u a n, platí vzorec kosinus alpha rovná se skalární součin vektoru u a vektoru n děleno součin velikosti vektoru u a velikosti vektoru n. No a protože skalární součin uvedených vektorů se rovná nula, tak i kosinus alpha se rovná nula. Z toho plyne, že alpha se rovná arkus kosinus nuly. No a arkus kosinus nuly je skutečně devadesát stupňů. Vektory u a n jsou tedy kolmé, což zapisujeme pomocí stejného znaku jako například kolmost z přímek. Obecně pak platí, že nějaké dva vektory u a v jsou na sebe kolmé tehdy, když jejich skalární součin je roven nule.