Součet vektorů zadaných pomocí velikosti a směru – úvod

Máme tady dva vektory. Vektor a o velikosti 3 a orientovaná úsečka, která ho znázorňuje svírá s kladnou poloosou x úhel 30 stupňů, a pak tady máme vektor b o velikosti 2 a úhel tady máme sto třicet pět stupňů. A v tomto a v příštím videu se budeme zabývat tím, jakou velikost a směr má vektor, který vznikne součtem těchto dvou vektorů, tedy to bude a plus b. Jak to uděláme? Nejjednodušší bude spočítat si x-ovou a y-ovou složku obou těchto vektorů a ty potom následně sečteme. Sčítat vektory po složkách už dávno umíme. Tak pojďme na to. Tady si představíme pravoúhlý trojúhelník. To už jsme dělali několikrát v minulých videích. Je to jednoduché. Známe přeponu a úhel, takže už to můžeme dopočítat. Chceme tedy x-ovou složku, to je přilehlá ku přeponě. Použijeme goniometrické funkce. To je kosinus. Takže kosinus 30 stupňů. Kosinus 30 stupňů bude roven x. To je x a tohle je y. Já to klidně můžu takhle napsat. X děleno třemi, to je ta přepona, takže když to vynásobím třemi, dostanu, že třikrát kosinus 30 stupňů je roven x. Kosinus třiceti stupňů je tabulková hodnota, to je odmocnina ze tří děleno dvěma, takže tady je tři krát odmocnina ze tří děleno dvěma. To je tedy x. Obdobně budeme postupovat pro y, tentokrát je to protilehlá ku přeponě a tedy sinus. Takže sinus třiceti stupňů bude roven y děleno třemi, délka té přepony, velikost toho úhlu, krát tři, tři krát sinus 30 stupňů je y. Sinus 30 stupňů je taktéž tabulková hodnota, je to jedna polovina, tři krát jedna polovina jsou tři poloviny. To je tedy y. Jsme v prvním kvadrantu, x-ová i y-ová složka budou kladné, takže to zůstane tak, jak jsme to spočítali. Takže vektor a bude roven 3 odmocniny ze tří děleno dvěma a tři poloviny. X-ová a y-ová složka vektoru a. Vektor b. Budeme postupovat úplně stejně. Už v minulých videích jsme si řekli, že to je tak vždycky, počítáme x, počítáme kosinus z toho úhlu, y počítáme sinus. Vychází to mimo jiné i z definice jednotkové kružnice, ale to jsme si už vykládali, když tak koukněte na ty videa z předtím. Takže tady máme 135 stupňů. Představím si pravoúhlý trojúhelník. Tady tyto dva úhly, tento a tento jsou vedlejší, takže dohromady dávají sto osmdesát. Tady je 135. Tady tím pádem bude čtyřicet pět, takže čtyřicet pět bude i tady, protože dohromady dáváme sto osmdesát. Počítáme zase x a y, u x je to zase kosinus, je to přilehlá ku přeponě, přepona má tentokrát dva, můžu to napsat, takže kosinus 45 stupňů je přilehlá ku přeponě a tedy x děleno dvěma, takže x je rovno dva krát kosinus čtyřiceti pěti stupňů. A kosinus čtyřiceti pěti stupňů je taky tabulková hodnota zase, a je to odmocnina ve dvou děleno dvěma, dva krát odmocnina ze dvou děleno dvěma. Ty dvojky se nám vyruší a zbude nám odmocnina ze dvou. Jenom podotýkám, odmocnina ze dvou je kladná hodnota, protože to je délka té strany. Ale my vidíme, že my tady jdeme do minusu, jsme v druhém kvadrantu, takže potom ta x-ová složka toho vektoru bude záporná, jenom ať na to nezapomeneme. Y je protilehlá ku přeponě a tedy sinus. Sinus čtyřiceti pěti stupňů je y děleno dvěma. Y děleno dvěma, ať se v tom neztratíme, dva krát sinus 45 stupňů je tedy to naše y. Sinus 45 stupňů. Taktéž tabulková hodnota, je to odmocnina ze dvou děleno dvěma, takže dva krát odmocnina ze dvou děleno dvěma, to je y. Ať si to představíme, kdyby vás to tady mátlo, ten krok rychlý, to se nám vykrátí. A zbude nám, že y je odmocnina ze dvou. Vektor b má tedy složky, pozor už jsem říkala, x-ová bude záporná, minus odmocnina ze dvou a odmocnina ze dvou. Pozor na toto, vždycky se podívejte, v jakém kvadrantu se ten vektor nachází. A teď pojďme na ten součet. Sčítat po složkách vektory umíme, to je jednoduché, sečteme x-ovou s x-ovou a y-ovou s y-ovou. Jednoduché. Takže a plus b bude 3 krát odmocnina ze tří děleno dvěma plus minus odmocnina ze dvou, takže minus odmocnina ze dvou, a tři poloviny plus odmocnina ze dvou. To je ten náš výsledek, který jsme chtěli dostat, to je x-ová a y-ová složka součtu vektorů a a b. Kdybyste chtěli, můžete si to dát i do kalkulačky a dostanete nějaký přibližný výsledek. Ale nám to tady zatím takto stačí. A v příštím videu se budeme věnovat tomu, jak opravdu bude ten vektor a plus b vypadat, jaká bude jeho velikost, a jaký bude jeho směr.