Sestroj trojúhelník za daných podmínek

Jdete po ulici a najednou vás někdo osloví a řekne vám: "Mám pro tebe úkol". Chci sestrojit trojúhelník, jehož délky stran jsou: 2... ...Jenom to sem napíšu... ...2, 2 a 5. Umíte to? Pojďme to zkusit. Začneme s tou nejdelší stranou, která má délku 5. Čili strana délky 5. To je tato úsečka. Teď zkusíme nakreslit strany s délkou 2. Každá hrana trojúhleníku se dotýká zbylých dvou. Tady máme jednu stranu o délce 2. A tady máme druhou stranu o délce 2. Teď si řeknete, dobře, tyto dvě strany se nedotýkají, tyto dva body. Abych to byl trojúhelník, musí se dotýkat. Takže je posunu blíže k sobě. Délky stran ale musí zůstat stejné. A také se musí stále dotýkat strany o délce 5, jejích koncových bodů. Zkusíme je posunout více k sobě. Zkusíme to, ale co se stane? Můžeme je otočit až úplně dolů, ale i tak se nedotknou, protože 2 plus 2 se nerovná 5. Pokud je otočíme úplně dolů, stále budou od sebe daleko 1 jednotku. Takže takový trojúhelník nelze sestrojit. Nemůžete ho sestrojit. Teď si asi všímáte jedné vlastnosti trojúhelníků. Nejdelší strana nemůže být delší než součet zbylých dvou stran. Tady je součet délek stran 4. 2 plus 2 jsou 4. A délka zbylé strany je větší než 4. I kdyby ta strana byla stejně dlouhá jako součet těch zbylých dvou, vznikne vám degenerovaný trojúhelník. Nakreslím vám to. Teď budou strany 2, 2 a 4. Nakreslíme si stranu s délkou 4. Strana s délkou 4. Nakreslím to trochu kratší. Tak tady je strana s délkou 4. Jestli chceme, aby se zbylé strany o délkách 2 dotýkaly, aby se dotýkaly, musíme je úplně otočit, otočit úplně dovnitř. Takže tento a tento úhel, tyto dva úhly, budou mít 0 stupňů. Takže výsledný trojúhelník, když otočíte tuto stranu dovnitř a i tuto stranu dovnitř, jejich konce se budou dotýkat. Ale vzniklý trojúhelník nebude mít obsah. Tomu se říká degenerovaný trojúhelník. Vlastně to vypadá jako úsečka. Napíšu vám to. Je to degenerovaný trojúhelník. Jestli chcete nakreslit nedegenerovaný trojúhelník, součet délek dvou stran, musí být větší než délka nejdelší strany. Takže například, určitě bychom mohli nakreslit trojúhelník se stranami 3, 3 a 5 Pokud je toto strana o délce 5, když posuneme ty strany k sobě, tyto dva body... Nakreslím to trochu úhledněji. ...Tak se spojí v asi tomto bodě. A víme, že to můžeme udělat, protože když se nad tím zamyslíte, kdybychom to pořád přibližovali, tak se strany někde překříží. Kdybyste chtěli udělat degenerovaný trojúhelník, tyto body se nedotknou. Překryjí se o 1 jednotku. Takže je můžeme otočit jedním či druhým směrem a vznikne nedegenerovaný trojúhelník. Takový trojúhelník lze sestrojit. Zbývá ještě jedna zajímavá otázka. Je to jediný trojúhelník, který lze sestrojit, se stranami 3, 3 a 5? Tuto délku nemůžeme změnit. Čili tyto dva body také nelze změnit. A tyto dvě strany také nelze změnit. Takže jediné místo, kde se můžou protnout, je přímo tady. Takže tento trojúhelník je jediný, který splňuje zadaná kritéria. Mohli byste ho různě otáčet. I když ho otočíte, je to pořád stejný trojúhelník. Je to jediný troúhelník s délkami stran 3, 3 a 5. Nemůžete změnit žádný z úhlů, aby vznikl jiný trojúhelník.