Hlavní obsah

Kurz: Výrazy > Kapitola 7

Lekce 1: Zjednodušování lomených výrazů

Zjednodušování lomených výrazů: pokročilé příklady

Dobrá práce, nyní již máš dobře zvládnutou dovednost zjednodušování lomených výrazů. Pojď si to nyní vyzkoušet na složitějších příkladech!

Co je před čtením tohoto článku třeba znát

Lomený výraz je podíl dvou mnohočlenů. Lomený výraz je zjednodušený, pokud jmenovatel a čitatel nemají společného dělitele.

Pokud ti to nezní povědomě, tak se koukni na úvod do zjednodušování lomených výrazů.

Co se v tomto článku dozvíš

Zde si procvičíš, jak se upravují složitější výrazy. Koukněme se na dva příklady a pak můžeš zkusit další samostatně.

1. příklad: Zjednoduš $\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x}$ ‍

Krok 1: Rozložení jmenovatele a čitatele

Je dobré si uvědomit, že i když čitatel je jenom jeden člen, tak jej můžeme také rozložit.

$\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x} = \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)}$ ‍

Krok 2: Zjištění hodnot, pro které výraz není definovaný, neboli určení podmínek.

Z rozloženého výrazu vidíme, že $x \neq 0$ ‍ a $x \neq 9$ ‍.

Krok 3: Zkrácení společných činitelů

$\begin{aligned} \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)} & = \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)} \\ = \frac{5 x^{2}}{x - 9} \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Výsledek

Zjednodušený výraz napíšeme takto:

$\frac{5 x^{2}}{x - 9}$ ‍ pro $x \neq 0$ ‍

Hlavní ponaučení

V tomto příkladu jsme viděli, že občas musíme na součin rozložit i jednočlenný výraz, abychom mohli lomený výraz zjednodušit.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

1) Zjednoduš $\frac{6 x^{2}}{12 x^{4} - 9 x^{3}}$ ‍.

Krok 1: Rozložení jmenovatele a čitatele

$\frac{6 x^{2}}{12 x^{4} - 9 x^{3}} = \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 x^{3} (4 x - 3)}$ ‍

Krok 2: Zjištění hodnot, pro které výraz není definovaný, neboli určení podmínek.

Z rozloženého výrazu vidíme, že $x \neq 0$ ‍ a $x \neq \frac{3}{4}$ ‍.

Krok 3: Zkrácení společných činitelů

$\begin{aligned} \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 x^{3} (4 x - 3)} & = \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 \cdot x \cdot x^{2} (4 x - 3)} \\ = \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 \cdot x \cdot x^{2} (4 x - 3)} \\ = \frac{2}{x (4 x - 3)} \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Výsledek

$\frac{2}{x (4 x - 3)}$ ‍

Všimni si, že pro původní výraz platí $x \neq 0, \frac{3}{4}$ ‍. Zjednodušený výraz má stejné podmínky. Nemusíme psát žádné další podmínky.

2. příklad: Zjednoduš $\frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ ‍

Krok 1: Rozložení jmenovatele a čitatele

I když to nevypadá, jmenovatel a čitatel mají společného dělitele, totiž že výrazy

x - 3

3 - x

si jsou podobné. Ve skutečnosti stačí vytknout

- 1

z čitatele a dostaneme

x - 3

\begin{aligned} \frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (- 3 + x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} Komutativita - proměníme pořadí operací \end{aligned}

Krok 2: Zjištění hodnot, pro které výraz není definovaný, neboli určení podmínek.

Z rozloženého výrazu vidíme, že

x \neq 3

x \neq - 1

Krok 3: Zkrácení společných činitelů

\begin{aligned} \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 1)}{x + 1} \\ = \frac{1 - x}{x + 1} \end{aligned}

Poslední krok, tedy vynásobení

- 1

, nebyl nutný, ale většinou se to tak dělá.

Krok 4: Výsledek

Zjednodušený výraz je:

\frac{1 - x}{x + 1}

pro

x \neq 3

Hlavní ponaučení

Činitelé

x - 3

3 - x

jsou opační, jelikož

- 1 \cdot (x - 3) = 3 - x

V tomto příkladu jsme zkrátili tyto činitele, ale také přidali

- 1

. Jinak řečeno,

x - 3

3 - x

se zkrátí na

-1

Obecně se opačné výrazy

a - b

b - a

zkrátí na

- 1

, přičemž musí platit, že

a \neq b

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

2) Zjednoduš $\frac{(x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)}$ ‍.

Krok 1: Rozložení jmenovatele a čitatele

Čitatel a jmenovatel už jsou rozložení na součin.

$\frac{(x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)}$ ‍

Krok 2: Zjištění hodnot, pro které výraz není definovaný, neboli určení podmínek.

Z rozloženého výrazu vidíme, že $x \neq 2$ ‍ a $x \neq - 5$ ‍.

Krok 3: Zkrácení opačných činitelů

(x - 2)

(2 - x)

můžeme zkrátit na

- 1

$\begin{aligned} \frac{(x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)} & = \frac{- 1 (x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)} \\ = \frac{- 1 (x - 5)}{x + 5} \\ = \frac{5 - x}{x + 5} \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Výsledek

Zjednodušený výraz napíšeme takto:

$\frac{5 - x}{x + 5}$ ‍ pro $x \neq 2$ ‍

3) Zjednoduš $\frac{15 - 10 x}{8 x^{3} - 12 x^{2}}$ ‍.

pro

x \neq

Krok 1: Rozložení jmenovatele a čitatele

$\frac{15 - 10 x}{8 x^{3} - 12 x^{2}} = \frac{5 (3 - 2 x)}{4 x^{2} (2 x - 3)}$ ‍

Krok 2: Zjištění hodnot, pro které výraz není definovaný, neboli určení podmínek.

Z rozloženého výrazu vidíme, že $x \neq 0$ ‍ a $x \neq \frac{3}{2}$ ‍.

Krok 3: Zkrácení opačných činitelů

(3 - 2 x)

(2 x - 3)

můžeme zkrátit na

- 1

$\begin{aligned} \frac{5 (3 - 2 x)}{4 x^{2} (2 x - 3)} & = \frac{5 \cdot (- 1) (3 - 2 x)}{4 x^{2} (2 x - 3)} \\ = \frac{- 5}{4 x^{2}} \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Výsledek

Zjednodušený zápis je:

$\frac{- 5}{4 x^{2}}$ ‍ pro $x \neq \frac{3}{2}$ ‍

Zkusme další příklady

4) Zjednoduš $\frac{3 x}{15 x^{2} - 6 x}$ ‍.

Krok 1: Rozložení jmenovatele a čitatele

$\frac{3 x}{15 x^{2} - 6 x} = \frac{3 x}{3 x (5 x - 2)}$ ‍

Krok 2: Zjištění hodnot, pro které výraz není definovaný, neboli určení podmínek.

Z rozloženého výrazu vidíme, že $x \neq 0$ ‍ a $x \neq \frac{2}{5}$ ‍.

Krok 3: Zkrácení společných činitelů

$\begin{aligned} \frac{3 x}{3 x (5 x - 2)} & = \frac{3 x}{3 x (5 x - 2)} \\ = \frac{1}{5 x - 2} \end{aligned}$ ‍

Všimni si, že pokud úplně zkrátíme čitatele, tak nám zbude

1

Krok 4: Výsledek

Zjednodušený zápis je:

$\frac{1}{5 x - 2}$ ‍ pro $x \neq 0$ ‍

5) Zjednoduš $\frac{3 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x}{3 x - 3}$ ‍.

pro

x \neq

Krok 1: Rozložení jmenovatele a čitatele

Všimni si, že máme společného dělitele

3 x

v čitateli . Můžeme jej vytknout a pak dále rozložit.

$\begin{aligned} \frac{3 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x}{3 x - 3} & = \frac{3 x (x^{2} - 5 x + 4)}{3 (x - 1)} \\ = \frac{3 x (x - 4) (x - 1)}{3 (x - 1)} \end{aligned}$ ‍

Krok 2: Zjištění hodnot, pro které výraz není definovaný, neboli určení podmínek.

Z rozloženého výrazu vidíme, že $x \neq 1$ ‍.

Krok 3: Zkrácení společných činitelů

$\begin{aligned} \frac{3 \cdot x (x - 4) (x - 1)}{3 \cdot (x - 1)} & = \frac{3 \cdot x (x - 4) (x - 1)}{3 \cdot (x - 1)} \\ = x (x - 4) \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Výsledek

Zjednodušený zápis je:

$x (x - 4)$ ‍ pro $x \neq 1$ ‍

6) Zjednoduš $\frac{6 x^{2} - 12 x}{6 x - 3 x^{2}}$ ‍.

Krok 1: Rozložení jmenovatele a čitatele

Všimni si, že v čitateli je dělitel

6 x

a ve jmenovateli je dělitel

3 x

$\begin{aligned} \frac{6 x^{2} - 12 x}{6 x - 3 x^{2}} & = \frac{6 x (x - 2)}{3 x (2 - x)} \end{aligned}$ ‍

Krok 2: Zjištění hodnot, pro které výraz není definovaný, neboli určení podmínek.

Z rozloženého výrazu vidíme, že $x \neq 0$ ‍ a $x \neq 2$ ‍.

Krok 3: Zkrať společné činitele a opačné činitele

Je dobré si uvědomit, že

6 x

můžeme napsat jako

2 \cdot 3 x

. Poté ve zlomku zkrátíme

3 x

$\begin{aligned} \frac{6 x (x - 2)}{3 x (2 - x)} & = \frac{2 \cdot 3 x \cdot (x - 2)}{3 x \cdot (2 - x)} \\ = \frac{2 \cdot 3 x \cdot (x - 2)}{3 x \cdot (2 - x)} \\ = \frac{2 \cdot (x - 2)}{(2 - x)} \end{aligned}$ ‍

Nyní zkrátíme opačné činitele

(x - 2)

(2 - x)

- 1

$\begin{aligned} = \frac{2 \cdot (x - 2)}{(2 - x)} \\ = \frac{2 \cdot (- 1) (x - 2)}{(2 - x)} \\ = - 2 \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Výsledek

Zjednodušený zápis je:

$- 2$ ‍ pro $x \neq 0, 2$ ‍

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Výrazy

Kurz: Výrazy > Kapitola 7

Co je před čtením tohoto článku třeba znát

Co se v tomto článku dozvíš

1. příklad: Zjednoduš 10x32x2−18x‍

Hlavní ponaučení

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

2. příklad: Zjednoduš (3−x)(x−1)(x−3)(x+1)‍

Hlavní ponaučení

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Zkusme další příklady

Chceš se zapojit do diskuze?

1. příklad: Zjednoduš $\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x}$ ‍

2. příklad: Zjednoduš $\frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ ‍